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《韩信点兵(同余问题)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、二韩信点兵例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公信数为这些数的积），然后再加3,得9948（人）。例2有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2,5,8,11,14,17,20,23….它们除以12的余数是：2,5,8,11,2,5,8,11,….除以4余1的数有：1,5,9,13,17,21,25,29,它们除以12的余数是：1,5,9
2、,1,5,9,….一个数除以12的余数是唯一的,上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5,满足条件的数是很多的，它们是5+12Xn（n=0,1,2,3…），事实上，我们首先找出5后，注意到12是3,4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个•然后再与第三
3、个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，毙汉相争•韩信帅1500名将士与斐王大将李锋交战。苦战一场，毙军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，姑果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击穿，一定能打败敌人。一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最
4、小数.解：第1步先列出满足其中一个条件的数（一般从小到大），即除以3余2的教：2,5,8,11,14,17,20,23,26,…，第2步再列出满足其中第二个条件的数，即除以5余3的数：3,8,13,18,23,28,….第3步归纳前面第3步首先出现的公共数是8.8就是满足除以3余2,除以5余3的最小的那个数。3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15Xn（n=0,1,2,…）。列出这一串数是8,23,38,…，第4步再列出满足其中第三个条件的数，即除以7余2的数2,9,16,23,30,…，第5步归纳第3步第4步得到的数列。就得出符合
5、题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个。3,5,7的最小公倍数是105，满足三个条件的所有数是23+105Xn（n=0,1,2,•••）第6步那么韩信点的兵在10007100之间，应该是23+105X10=1073人如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒以内），假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒,那么，原有蚕豆有多少粒呢？中国剩余定理《韩信点兵）的计算方法是：第1步用3个一数剩下的余数，将它乘以70（因为70既是5与7的倍数，又是以3去除余1的数）：第2步用5个一数剩下的余数，将它乘以21（因为21既是3与
6、7的倍数，又是以5去除余1的数）：第3步7个一数剩下的余数，将乘以15（因为15既是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），第4步将这些数加起来，若超过105（105是3,5,7的最小公倍数），就减掉105,如果轲下来的数目还是比105大，就再减去105,直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的题目列成算式：1X70+2X21+2X15-105=142-105=37因此，可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。【例4】求最小非负整数N,使他在除以5,7,11以后所得余数分别是a,b,c。【韩信点兵法口诀的原
7、理】①能被7,11除尽数是77k,当k=3,即231除5正好余1,231a除5正好余a。②能被5,11除尽数是55k,当k=6,即330除7正好余1,330b除7正好余b。③能被5,7除尽数是35k,当k=6,即210除11正好余1,210c除11正好余c°那么231a+330b+210c除以5,7,11以后所得余数一定分别是a,b,c。5,7,11的最小公倍数是385,根据【符合要求的最小数N必满足0WNV385］，所以当231a+330b+210c大于或等于385时，还必须减去若干个385直到比385小为止，才可以得到符合题意要求的最小数,【说
8、明】231a+330b+210c+385k也一定满足“除以5,7,11以后所得余数分别是a,b,c”。【例5】求最小非负整
