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1、第9章经常使用算法求任意实函数的单实根设任意实函数f(x)=Of(x)是x的非线性或线性函数，求它的单实根的方式很多，如二分法，弦截法，优选法，插值法等，各类方式大同小异。下面介绍弦截法求实函数在给定一个区间［xmin,xmax］中的所有单实根。这种方式求根分两步进行。第一步，判定某个小区间内是不是有根存在，其原理是xb=xa+h,自变量从原先的一个初值xa向前跨出一步h,若是在［xa,xa+h］中有根存在，那么必有函数值f(xa)与f(xb)异号或f(xb)=0，这时转到第二步，不然将xbxa,继续第一步的工作。第二步，以(xa,f(xa))和(x
2、b,f(xb))作一直线，取得直线方程：一一f(xb)-f(xa)y=f(xa)+•(x-xa)xb-xa以y=0时的x值xO作为实验根，那么xO=xa-f(xa)«——"'二——f(xb)-f(xa),求得f(xO)=yOo若是f(xO)=yO<£或xb-xa<£l,能够以为xO是方程f(x)=O的一个根，如不知足条件，依照yO的符号使得xO->xa,yO->ya或xO-xb,yO->yb,继续第二步的操作，直到知足条件。当xb+h>xmax时，搜索进程终止。计算步长选择原那么是，保证在一个步长区间内的根不能多于1个互异根(重肃除外)，不然将造成丢
3、根现象，这就要求h取得较小，但增加计算时刻，因此应综合考虑，对周期函数，h应小于周期的1/2。操纵精度£的大小直接阻碍求根精度，应依照需要设定，一样可取10渣~io10,£1可取口几种经常使用的数字积分方式（微分方程的数字解）y（to）=y（）1欧拉法（折线法）设一阶微分方程&=y=f（t,y）dx由图可知,过（to,yo）点的斜率为y（＞=f（to，y。）若是L离t。很近，即&很小，曲线y⑴可用切线来近似，其切线方程y=yo+f(to，y°)(t-to)其微分方程在时，可近似表示为y(L)=y1=yo+f(to，y<))(L重复上述近似进程,当t=
4、时,y(t2)=y2=yi+f(tPyi)(t2-tj那么有一样近似公式=+-1=+/'（，〃，X%-乙）若是令tz-tn=I"，称为计算步矩，那么y(tn+l)=yn+l=yn+f(tn，Yn)・hn这确实是欧拉法数字积分的递推计算公式。由公式可看出，只要咱们给出方程的初值(to,yo)和相应的步距，慢慢进行递推就可取得微分方程的近似数字解。欧拉法的计算是十分简单的，其计算误差正比于1/，由此，要取得高精度解，必需减小步距，但这使得计算次数增加，乂由于运算机的字长有限，h减小得过小，将引入舍入误差，因此此方式的精度提高有限，实际应用中较少采纳。2梯
5、形法(预报一一校正法)欧拉法精度低，却给咱们一些启发，对微分方程y=可改写成y(t)=yo+flf(t,y)dxJlo当t=L时，那么从此式能够看出，要求得y(t,)的值，等式右边中含有未知函数，因此不能取得y3)的值，但如果是咱们用已知的函数值y(t°)来代替y(t),用不变取代转变的函数，即['f(t,y(t))dt〜0f(t0，y(t()))dt“to〜事实上右边是一个矩形面积「f(t,y(t))dt=f(t0,y(t。))•(t,一t0)“%则％=yo+h「f(to，y°)递推公式为yz=yn+3用此矩形的面积的算法，其计算误差是显然的(欧拉
6、法)，为了提高精度，咱们能够用梯形面积来取代矩形的面积，即[l，f(t,y(t))dt=4(f0+f)•ho八o则y1=yo+：(fo+fi)・h。递推形式为丫2=%+1hn(fn+fn+I)或Ye=yn+hn•[f(tn,yn)+f(tn+ryn+1)]应用上式求积分，产生了新的问题，即在计算yz时，要用九川，而丫2不知，那么f(tz，yz)是未知的，要取得y-i通常可用迭代方式，即在心与小之间迭代多次,使其计算的y.慢慢收敛于y(t。,即y3=yn+h「f(tn,yn)y；+i=yn+hn•[f(tn，yn)+f(tn+i，y：L)]Yn+1=Y
7、n+hn•[f(tn^n)+f(tn+pyn；，l)]若是序列y3极限存在，那么当k-8时，y3-y(tz),要保证上述极限存在,只要选取h小到必然程度，就能够取得知足。被选取必然的知足了收敛条件，但在计算上要迭代多次才以为求得了准确值，迭代次数越多，计算精度越高，但计算工作量加大，因此一样只迭代一次即可，那么算法写成yn+i=yn+hn•f(tn,yn)yn+i=yn+1hn•tf(tn,yn)+f(tn+1,y；；+1)⑵上式为预报校正公式。应用梯形近似进行校正求得的值，事实上此方式是将欧拉法与梯形法的结合的一种算法，计算量比欧拉法增加了一倍。3
8、龙格一库塔法(runge-kutta)将梯形法进一步扩展，能够取得常常利用的一种算法。考虑如下的微分方程：半
