3.1.5删减版文库素材

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1、3.1.5空间向量运算的坐标表示新课一、向量的直角坐标运算rr设a(,aaa,),b(,,)bbb则123123rrab(a1ba1,2ba2,3b3);rrab(aba,ba,b);112233ra(a1,a2,a3),(R);rrabababab;112233rrrrab//ababa,ba,b(R);112233rrrrabab00ababab;112233二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式rrr2222aaa

2、aaa123rrr2222bbbbbb123注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。（2）空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，已知Ax(1,yz1,)1、Bx(,y,z)，则222uuurAB(x2x1,y2yz1,2z1)uuuruuuruuur222ABABABg(x2x1)(y2y1)(z2z1)uuur222dAB(xx)(yy)(zz)AB2121212.两个向量夹角公式rrrrababababrr112233cosab,;ab222

3、222aaabbb123123注意：rrrr（1）当cosab,1时，ab与同向；rrrr（2）当cosab,1时，ab与反向；rrrr（3）当cosab,0时，ab。rrrr思考：当0cosab,1及10cosab,时，夹角在什么范围内？三、应用举例rr例1．已知ab(2,3,5),(3,1,4)rrrrrrrr求ababa,,,8,aabrr解:ab(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)rrab(2,3,5)(3,1,4)(5,4

4、,9)r222a2(3)538r8a8(2,3,5)(16,24,40)rrab(2,3,5)(3,1,4)2(3)(3)15(4)29三、应用举例例2已知A(3,3,1)、B(1,0,5)，求：（1）线段AB的中点坐标和长度；AM解：设Mxyz(,,)是AB的中点，则Buuuur1uuuruuur13OM(OAOB)(3,3,1)1,0,52,,3,222O3∴点M的坐标是2,,3.2222d(13)(03)

5、(51)29.AB,（2）到AB、两点距离相等的点Pxyz(,,)的坐标xyz,,满足的条件。解：点Pxyz(,,)到AB、的距离相等，则222222(x3)(y3)(z1)(x1)(y0)(z5),化简整理，得4x6y8z70即到AB、两点距离相等的点的坐标(,,)xyz满足的条件是4x6y8z70例、在正方体ABCDABCD中EF,分别是BBCD,的中点,11111求证DF平面ADE1证明：不妨设已知正方体的棱长为uuurruuurruuuurr1个单位长度,设DAiDC

6、,,jDDkrrr1分别以ijk,,为坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz则D(0,0,0),(1,0,0),AD(0,0,1)111FE(0,,0),(1,1,)uuur22uuuur1AD(0,0,0)(1,0,0)(1,0,0),DF(0,,1)1uuuruuuur12ADDF1(1,0,0)(0,,1)0DF1ADuuur1uuuruuuur21111又AE(0,1,)AEDF(0,1,)(0,,1)0122222DFAE又ADIAEA1DF平面ADE1练习

7、1⑴已知ABCD,顶点AB(1,0,0),(0,1,0),C(0,0,2),则顶点D的坐标为______________;(1,-1,2)o⑵Rt△ABC中,BAC90,AB(2,1,1),(1,1,2),Cx(,0,1),则x____;2uuur⑶已知A(3,5,7),B(2,4,3),则AB在坐标平面yOz上的射影的长度为_______.101练习2:⑴已知A0,2,3)B（、（2,1,6),(1,1,5)C,73则△ABC的面积S=_____.2rrrr2⑵ax(,2,1),bx(3,,5)且a与

8、b的夹角为5钝角，则x的取值范围为(1,).2练习3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,MN,分别是ABPC,的中点,并且PAAD,求证:MN平面PDC证明:QPAADAB,,且PA平面ACADABuuurruuurruuurrrrr可设DAiAB,jAP,kPA