3.2删减版文库素材

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1、前面,我们把推广到平面向量空间向量向量渐渐成为重要工具立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.复习：共线向量定理:rrrrr对空间任意两个向量abb、（0），ab//的rr充要条件是存在实数，使a＝b。共面向量定理:如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb。思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的

2、位置吗？4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？一、点的位置向量在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中uuur任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把uuur向量OP称为点P的位置向量。PO二、直线的向量参数方程空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.l对于直线l上的任一点P,Puuuruuur存在实数t使得APtABa此方程称为直线的向量参数方程。r这样点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体写出l上的任意一B点。uuuruuurrAOPOAta，uuuruuuruuurOPxOAyOBx(y

3、1）三、平面的法向量空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.rnrP对于平面上的任一点P,b存在有序实数对(,)xy,使得ruuurrrOaOPxaybrr这样，点O与向量ab、不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点。除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.r平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面r，则称这个向量垂直于平rr面,记作n⊥，如果n⊥，那么向量n叫做平面的法向量.rl给定一点Ar和一个向量n,那么过点A,以向量n为法向量的平面是r完全确定的.n几点注意：1.法向

4、量一定是非零向量;A2.一个平面的所有法向量都互相平行r;3.向量urn是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面rur内，则有nm0问题：如何求平面的法向量？(1)设出平面的法向量为n(x,y,z)(2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a(a,b,c),b(a,b,c)111222(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的na0方程组nb0(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。uuuruuur例例12：已知AB(2,2,1),AC(4,5,3),求平面ABC的单位法向量。r解：设平面的法向量为n（xyz，，），ruuurruuur

5、则nABn，AC（xyz，，）gg(2,2,1)0，（xyz，，）(4,5,3)0,12x2yz0x即,取z1，得24x5y3z0y1r1r3n(,1,1),n22122求平面ABC的单位法向量为(，-，）333思考2：因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？四、平行关系

6、：rr设直线lm,的方向向量分别为ab,，平面,rr的法向量分别为uv,，则rrrr线线平行l∥ma∥bakb；rrrr线面平行l∥auau0；rrrr面面平行∥u∥vukv.r设直线l的方向向量为a(,,),abc平面的注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行111r包括线在面内，面面平行法向量为rru(,,),abc222包括面面重合则.l//au0aabbcc0;121212五、垂直关系：rr设直线lm,的方向向量分别为ab,，平面,rr的法向量分别为uv,，则rrrr线线垂直l⊥ma⊥bab0；rrrr线

7、面垂直l⊥a∥uaku；面面垂直⊥u⊥vuv0.rr若a(,,),abcu(,,),abc则1r1r1rr222lau//akuakab,kbc,kc.121212rrabc111当abc,,0,//时au222abc222巩固性训练1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若//，则k=；若则k=。2、已知l//，且l的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则