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《(3.4.1)--2.4线性时变系统的解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《现代控制理论》MOOC课程2.4线性时变系统的解2.3线性时变系统的解一.时变系统状态方程解的特点对于线性时变系统的状态空间表达式可以表示为：𝒙ሶ=A(t)𝒙+B(t)u，𝒙𝑡0=𝒙𝟎，𝑡∈[𝑡0,𝑡∝]𝒚=C(t)𝒙+D(t)u为了求解时变系统的状态方程，先讨论一个时变的标量方程：𝑥ሶ=a(t)𝑥𝑑𝑥解：=a(t)𝑑𝑡𝑥𝑡对上式两边从𝑡0到t积分：𝑙𝑛𝑥𝑡−𝑙𝑛𝑥(𝑡0)=නa(𝜏)𝑑𝜏𝑡0𝑡𝑥𝑡𝑡可得：𝑙𝑛=නa(𝜏)𝑑𝜏𝑥𝑡=𝑒𝑡0a(𝜏)𝑑𝜏𝑥(𝑡)𝑥(𝑡0)0𝑡02.3线性时变系统的解一.时变系统状态方程解的特点𝑡𝐴𝜏𝑑𝜏
2、齐次方程𝒙ሶ=𝑨𝑡𝒙解为𝒙(𝑡)=𝑒𝑡0𝒙(𝑡𝟎)成立的条件。𝑡𝑑𝑡𝑑𝐴𝜏𝑑𝜏𝐴𝜏𝑑𝜏左边=𝒙ሶ=(𝑒𝑡0𝒙(𝑡𝟎))=(𝑒𝑡0)𝒙(𝑡𝟎)𝑑𝑡𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑1=(𝐼+න𝐴𝜏𝑑𝜏+න𝐴𝜏𝑑𝜏න𝐴𝜏𝑑𝜏+⋯)𝒙(𝑡𝟎)𝑑𝑡2!𝑡0𝑡0𝑡0𝑡𝑡11=(𝐴𝑡+𝐴𝑡න𝐴𝜏𝑑𝜏+(න𝐴𝜏𝑑𝜏)𝐴𝑡+⋯)𝒙(𝑡𝟎)22𝑡0𝑡0𝑡𝐴𝜏𝑑𝜏右边=A(t)𝒙=A(t)𝑒𝑡0𝒙(𝑡𝟎)𝑡1𝑡𝑡=A(t)(𝐼+𝐴𝜏𝑑𝜏+𝐴𝜏𝑑𝜏𝐴𝜏𝑑𝜏+⋯)𝒙(𝑡𝟎)𝑡02!𝑡0𝑡02.3线性时变系统的解一.时变系统状态方程解的特点𝑡𝑡𝑡1右边=(𝐴𝑡+𝐴𝑡න𝐴𝜏
3、𝑑𝜏+𝐴𝑡න𝐴𝜏𝑑𝜏න𝐴𝜏𝑑𝜏+⋯)𝒙(𝑡𝟎)2!𝑡0𝑡0𝑡0𝑡𝑡11左边=(𝐴𝑡+𝐴𝑡න𝐴𝜏𝑑𝜏+(න𝐴𝜏𝑑𝜏)𝐴𝑡+⋯)𝒙(𝑡𝟎)22𝑡0𝑡0𝑡𝑡仅当𝐴𝑡න𝐴𝜏𝑑𝜏=(න𝐴𝜏𝑑𝜏)𝐴𝑡时𝒙ሶ=𝑨𝑡𝒙𝑡0𝑡0𝑡𝑡𝑡𝐴𝜏𝑑𝜏即方程解为：𝒙(𝑡)=𝑒𝑡0𝒙(𝑡𝟎)成立的条件为：𝐴𝑡න𝐴𝜏𝑑𝜏=(න𝐴𝜏𝑑𝜏)𝐴𝑡𝑡0𝑡0这个条件通常是不成立的。因此，时变系统的自由解通常不能写成封闭形式。2.3线性时变系统的解二.线性时变系统的零输入响应线性时变系统在零输入情况下，状态方程𝒙ሶ=𝑨𝑡𝒙𝒙(𝑡)ȁ𝒕=𝒕𝟎=𝒙(𝑡𝟎)的解可表示为𝒙𝑡=𝚽(𝑡,𝑡
4、0)𝒙(𝑡𝟎)其中𝚽(𝑡,𝑡0)，称为线性时变系统的状态转移矩阵，是如下矩阵方程的解：𝚽ሶ(𝑡,𝑡0)=A(𝑡)𝚽𝑡,𝑡0，𝚽𝑡0,𝑡0=𝑰，𝑡≥𝑡0𝚽ሶ(𝑡−𝑡)=A𝚽𝑡−𝑡，𝚽𝑡=𝑰，𝑡≥𝑡0000证明：将𝒙𝑡=𝚽(𝑡,𝑡0)𝒙(𝑡𝟎)代入方程𝒙ሶ=𝑨𝑡𝒙可得：𝚽ሶ(𝑡,𝑡0)𝒙(𝑡𝟎)=A(𝑡)𝚽𝑡,𝑡0𝒙(𝑡𝟎)故𝚽ሶ(𝑡,𝑡0)=A(𝑡)𝚽𝑡,𝑡0由𝒙𝑡=𝚽(𝑡,𝑡0)𝒙(𝑡𝟎)可得𝒙𝑡0=𝚽(𝑡0,𝑡0)𝒙(𝑡𝟎)。故𝚽𝑡0,𝑡0=𝑰得证2.3线性时变系统的解三.状态转移矩阵的性质1.传递性𝚽𝑡2,𝑡1𝚽𝑡1,𝑡0=𝚽𝑡2,𝑡
5、02.可逆性𝚽−𝟏𝑡,𝑡=𝚽𝑡,𝑡003.初始时刻的状态转移矩阵𝚽𝑡0,𝑡0=I4.微分性𝚽ሶ(𝑡,𝑡0)=A(𝑡)𝚽𝑡,𝑡0系统矩阵和状态转移矩阵通常不满足可交换条件。5.唯一性当A(t)确定以后，𝚽𝑡,𝑡0是唯一的。2.3线性时变系统的解四.线性时变系统非齐次状态方程的解结论：线性时变系统的状态方程为𝒙ሶ(𝑡)=A(t)𝒙(t)+B(t)u(t)，𝒙𝑡0=𝒙𝟎，𝑡∈[𝑡0,𝑡𝛼]且A(t)和B(t)的元素在𝑡∈[𝑡0,𝑡𝛼]时分段连续，则其解为：𝑡𝒙𝑡=𝚽(𝑡,𝑡0)𝒙(𝑡𝟎)+𝑡𝚽𝑡,𝜏𝑩𝜏𝒖𝜏𝒅𝜏0证明：应用叠加定理，状态方程的
6、解可以看作是初始状态的转移与控制激励状态的转移之和，即设其解具有如下形式：𝒙𝑡=𝚽(𝑡,𝑡0)𝒙(𝑡𝟎)+𝚽𝑡,𝑡0𝒙𝒖𝒕=𝚽(𝑡,𝑡0)(𝒙(𝑡𝟎)+𝒙𝒖𝑡)将𝒙𝑡代入系统的状态方程左边=𝒙ሶ=𝚽ሶ(𝑡,𝑡0)(𝒙(𝑡𝟎)+𝒙𝒖𝑡)+𝚽(𝑡,𝑡0)𝒙ሶ𝒖𝑡右边=A(t)𝒙(t)+B(t)u(t)=A(𝑡)𝚽𝑡,𝑡0(?
