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《考研数学 线性代数讲义第8章二次型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、水木艾迪www.etsinghua.org电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座503室第8章二次型8.1二次型与二次型的矩阵n个变量的二次齐次多项式nnf(x1,x2,L,xn)=∑∑aijxixji==11j称为n元二次型．二次型有３种表达形式：（１）完全展开式f(x,x,L,x)12n2=ax+axx+L+axx11112121n1n2+axx+ax+L+axx21212222n2n2+LL+axx+axx+Lax．n1n1n2n2nnn（２）和式nnf(x1,x2,L,xn)=∑∑aijxixj，ai
2、j=aji．i==11j（３）矩阵表达式T()令x=(x,x,L,x)，A=a，a=a12nijijji1水木艾迪www.etsinghua.org电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座503室f(x,x,L,x)12n⎛a11a12La1n⎞⎛x1⎞⎜⎟⎜⎟⎜a21a22La2n⎟⎜x2⎟＝(x,x,L,x)12n⎜LLLL⎟⎜M⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝an1an2Lann⎠⎝xn⎠T＝XAX．T二次型的矩阵表达式f(x,x,L,x)＝XAX中12n的矩阵A叫二次型的矩阵．T它是一个对称矩阵．其中a=a，即满足
3、A=A．ijji二次型矩阵A的秩称为二次型的秩．例1二次型222f(x,x,x)=(x+x)+(x−x)+(x+x)123122331的秩为．8.2矩阵的合同设A,B是两个n阶矩阵，若存在可逆方阵P，使T得PAP=B，则称B与A合同．合同有以下三个性质：（１）自反性：任意方阵A和自身合同；（２）对称性：若方阵B和A合同，则A和B也合同；（３）传递性：若方阵B和A合同，方阵C和B合同，则C和A合同．2水木艾迪www.etsinghua.org电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座503室矩阵的等价是对于两个同型
4、的矩阵A和B来说，如果存在可逆矩阵P和可逆矩阵Q，使得B=PAQ，则A和B等价．而矩阵的相似是对方阵说的，两个同阶的矩阵A和B，如果存在可逆矩阵P，使得−1B=PAP，则A和B相似．矩阵的合同也是对方阵说的，两个同阶的矩阵A和B，如果存在可逆矩阵TP，使得B=PAP，则A和B合同．由此可见，相似的矩阵一定等价，合同的矩阵也一定等价．等价的矩阵的一个主要特征是有相同的秩，因此，相似的矩阵及合同的矩阵也有相同的秩．显然，等价的矩阵不一定相似，等价的矩阵也不一定合同．矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类似．一个是可逆矩阵的逆，另一个是可逆矩阵的转
5、置．这是两个不同的概念，千万不要混淆．相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵也不一定相似．只有当存在可逆矩阵是正交矩阵时，则有−1TB=PAP=PAP，这时，A和B既相似又合同．实对称矩阵就有这个性质，对任意实对称矩阵，都存在正交矩阵和对角矩阵既相似又合同．3水木艾迪www.etsinghua.org电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座503室⎛400⎞⎛410⎞⎜⎟⎜⎟例2已知A=⎜040⎟,B=⎜041⎟,⎜⎟⎜⎟⎝004⎠⎝000⎠⎛220⎞⎜⎟C=⎜220⎟，⎜⎟⎝002⎠试判断A,B,C中哪些矩阵相似,
6、哪些矩阵合同?8.3二次型的标准形形如222dy+dy+L+dy1122nn的二次型称为二次型的标准形．二次型的标准型的特征就是只有变量的平方项，没有变量的交叉乘积项．通常用两种方法化二次型为标准形，分别是正交变换法，和配方法．正交变换法只能用于实二次型，不能用于复二次型．由于常见的题目都是实二次型，所以它是一种主要的方法．配方法可以用在实二次型，也可以用在复二次型．配方法实际上就是初等代数里的配平方，有时候用起来很方便，对于简单的题不失为一种好方法．4水木艾迪www.etsinghua.org电话：010-62701055/82378805地
7、址：清华同方科技广场B座503室用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤：（１）写出二次型的矩阵A；（２）求矩阵A的特征值，得λ,λ,L,λ；12n（３）求相应的特征向量；（４）将特征向量作施密特正交化，得到正交的特征向量；（５）将正交的特征向量单位化；（６）将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵Q，T−1这时有QAQ=QAQ=D，其中D是对角矩阵，它由A的特征值构成，D=diag(λ,λ,L,λ)，写的时候要注意与特12n征向量写的顺序一致；（７）写出可逆线性替换X=QY，则有222f=λy+λy+L+λy．1122nn例3已知实二次型f(x,x
8、,x)123222=a(x+x+x)+4xx+4xx+4xx1231213232经正交变换x=Py化成标准型f=6y，1则a=．5水木艾迪www.et
