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1、高等数学讲义（高数下）赵达夫六、多元函数微分学（一）本章的重点内容与常见的典型题型1.多元函数（主要是二元、三元）的偏导数和全微分概念；2.偏导数和全微分的计算，尤其是求复合函数的二阶偏导数及隐函数的偏导数；3.方向导数和梯度；4.多元函数微分在几何上的应用；5.多元函数的极值和条件极值.常见题型有：1.求二元、三元函数的偏导数、全微分.2.求复合函数的二阶偏导数；隐函数的一阶、二阶偏导数.3.求二元、三元函数的方向导数和梯度.4.求空间曲线的切线与法平面方程，求曲面的切平面和法线方程.5.多元函数的极值在几何、物理与经济上的应用题.第4类题型，是多元函数微分学与前面向量代数与空间解
2、析几何的综合题，应结合起来复习.极值应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意.1（二）知识网络图极限二元函数连续归结为一元函数求导偏导数概念隐函数的偏导数偏导数计算偏导数复合函数的偏导数偏导数连续高阶偏导数一链锁法则二阶偏导连续⇒=f′′(xy,,)fxy′′()xyyx多元函数微分学可微概念zfxy=(,)可微，全微分则dz=+fxy′′()xydx,,f()xydy一阶微分形式不变性极值存在的必要条件无条件极值判定极值的充分条件化成无条件极值多元函数极值条件极值拉格朗日乘数法多元极值在经济中的应用：最大值，最小值2（三）典型题型分析及解题方法与技巧题型一有关多元函数偏
3、导数与全微分概念的命题⎧∂z1⎪=−siny+,［6.1］设z(xy,)满足⎨∂+x1xy，求z(xy,).⎪⎩zy()1,=sin,yxyx［6.2］设zfxye==+(),sinπyx()−1arctan，求f′(1,1)及f′(1,1).xyy32［6.3］函数f()xy,=xy在点（0，0）处（）.（A）不连续；（B）连续，但偏导数f′()0,0和f′(0,0)不存在；xy（C）连续且偏导数f′(0,0)和f′(0,0)都存在，但不可微xy（D）可微.3sin(xy)［6.4］设ze=,则dz=.题型二求二元(三元)各类函数的偏导数与全微分xy∂z［6.5］设zfx=+(,)
4、()yg,其中f,g均可微,则=.yx∂x［6.6］设ufxyz=(,,)有连续的一阶偏导数,又函数yyx=()及z=zx()分别由下xyxxz−sintdu列两式确定:ex−y=2和ed=∫t，求.0tdx2y−y∂w［6.7］设函数f()u一阶可导,wxy(,)=+∫efxtdt(),求.0∂x∂yzz［6.8］设函数F具有一阶连续偏导数,z=zxy(,),由方程Fx(,)+y+=0yx4∂∂zz所确定,xy≠+≠0,yF′xF′0求x+y.21∂∂xy2xy(2)∂z［6.9］设zfx=+(,)()yg,其中f,gC∈,求.yx∂x∂y21(2)∂z［6.10］设z=+fxyy
5、xy()ϕ(+),其中f,ϕ∈C.则=.x∂x∂y22(2)x∂∂zz2x［6.11］设f()uC∈.而z=fe(sin)y满足方程+=ez,求f()u.22∂∂xy2y(1)∂ϕ［6.12］设ufxyzxez==(,,),(,,)0,ϕy=sinx,其中f,ϕ∈C,且≠0,求∂z5du.dx2y(2)∂z［6.13］设z==fuxyuxefC(,,),,∈,求.∂x∂y22z∂z［6.14］设xzy+=ϕ()，其中ϕ为可微函数,求.y∂y222［6.15］函数uxyz=+ln(+)在点M(1,2,2)−处的梯度gradu=.M22［6.16］函数uxyz=++ln()在点A(1,0
6、,1)处沿点A指向点B(3,2,2)−方向的方向导数为.6题型四综合题,条件极值,几何应用［6.17］证明:⑴若f(),()xfy当xy>>0,0时可微,且f()()()xy=fx+fy.则f()xax=ln,其中a为实数.⑵若f(),()xfy对任意x,y可微,且f()(xyfxfy+=)(),当fx()0≠时,则axf()xe=,其中a为实数.22［6.18］求二元函数f(,)xyx=++(2y)yyln的极值.22［6.19］在椭圆3231xx+yy+=的第一象限部分上求一点,使该点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小,并求面积的最小值.7322［6.20］选择题:设f(,)
7、xyx=−+−4x2xyy,则下面结论正确的是().(A)点（2，2）是f(,)xy的驻点，且为极大值点；(B)点（0，0）是f(,)xy的驻点，但不是极值点；(C)点（2，2）是极小值点；(D)点（0，0）是极大值点.222［6.21］设rxyz=++,则div()gradr=.()1,2,2−8七、二重积分，三重积分（一）本章的重点内容与常见的典型题型（含曲线积分，曲面积分）多元函数积分学包括二重、三重积分，曲线积分与曲面积分.其重点内容是:1.它们的
