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《高二数学培优讲义空间向量的运算及空间位置关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、衡阳个性化教育倡导者第八讲空间向量的运算及空间位置关系教学目标：1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2.会推导空间两点间的距离公式．3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.一、知识回顾课前热身知识点1．空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系名称内容空间直角坐标系以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的
2、数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系O－xyz.坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向．(3)空间中点M的坐标：空间中点M的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系．知识点2．空间两点间的距离(1)设点A(x1，y1
3、，z1)，B(x2，y2，z2)，则
4、AB
5、＝.特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为
6、OP
7、＝.(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为.知识点3．空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标知识点4．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数
8、λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．衡阳个性化教育倡导者知识点5．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规
9、定0≤〈a，b〉≤π.若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：两个非零向量a，b的数量积a·b＝
10、a
11、
12、b
13、cos〈a，b〉．(3)向量的数量积的性质：①a·e＝
14、a
15、cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③
16、a
17、2＝a·a＝a2；④
18、a·b
19、≤
20、a
21、
22、b
23、.(4)向量的数量积满足如下运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．知识点6．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b
24、＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.a⊥b⇔a1b2＋a2b2＋a3b3＝0；a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；cos〈a，b〉＝＝.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．例题辨析推陈出新[例1] 已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段MN的长度；(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y
25、，z)的坐标满足的条件．[自主解答] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度MN＝＝2，所以线段MN的长度为2.(2)因为点P(x，y，z)到M，N的距离相等，所以有＝，化简得x＋y－2z＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.变式练习1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求
26、MN
27、.衡阳个性化教育倡导者解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐
28、标系Axyz，则B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，∴N(1,0,2)，M(1,1,1)，∴
29、MN
30、＝＝.[例2] (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简－－＝________；②用，，表示，则＝________.(2)向量a＝(3,5，－4
