不定积分公式总结

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1、1不定积分小结一、不定积分基本公式xa+11(1)∫xadx=+C(a≠−1)(2)∫dx=ln

2、x

3、+Ca+1xax(3)∫axdx=+C(4)∫sinxdx=−cosx+Clna(5)∫cosxdx=sinx+C(6)∫tanxdx=−ln

4、cosx

5、+C(7)∫cotxdx=ln

6、sinx

7、+C(8)∫secxdx=ln

8、secx+tanx

9、+C(9)∫cscxdx=ln

10、cscx−cotx

11、+C(10)∫sec2xdx=tanx+C2dx(11)∫cscxdx=−cotx+C(12)∫=a

12、rctanx+C1+x2dx1xdx1a−x(13)∫=arctan+C(14)∫=ln

13、

14、+Cx2+a2aax2−a22aa+xdx1a+x??(15)∫=ln

15、

16、+C(16)∫=arcsin?+?a2−x22aa−x√1−?2?????(17)∫=arcsin+?(18)∫=ln

17、?+√?2±?2

18、+?√?2−?2?√?2±?2xa2x(19)∫√a2−x2dx=√a2−x2+arcsin+C22axa2(20)∫√x2±a2dx=√x2±a2±ln

19、?+√?2±?2

20、+?22二、两个重要的递

21、推公式（由分部积分法可得）(1)??=∫???????(详情请查阅教材166页)−cos?????−1??−1则??=+??−2(求三角函数积分)??易得??：n为奇数时，可递推至D1=∫sinxdx=−cosx+C；2xsin2xn为偶数时，可递推至D2=∫sinxdx=−+C；24??(2)??=∫(?2+?2)?(详情请查阅教材173页)1?2?−1则??+1=2??2(?2+?2)?+2??2??dx1x易得??可递推至?1=∫x2+a2=aarctana+C2（这是有理函数分解后一种形式

22、的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子x例1：∫dx√5+x−x2注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。11x−(−2x+1)+22∫dx=∫dx√5+x−x2√5+x−x21d(5+x−x2)11=−∫+∫dx2√5+x−x22√5+x−x21dx=−√5+x−x2

23、+∫21√(√21)2−(x−)22212x−1=−√5+x−x2+arcsin()+C2√21x3例2：∫dxx4+x2+1与例1类似，我们有：131x3(4x+2x)−x42∫dx=∫dxx4+x2+1x4+x2+1211d(x4+x2+1)1d(x+)2=∫−∫后面套公式就好啦4x4+x2+142221√3(x+)+()22dx例3：∫1+sin2xdx1dxd(tanx)∫=∫=∫cos2x+2sin2xcos2x1+2tan2x1+2tan2x31d(tanx)√2=∫=arctan(t

24、anx)+C2√22()2+tan2x2接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。√x√x3例4：∫dx=∫d(x2)√a3−x322333√x√(a2)−(x2)2213=∫d(x2)至此可以套用公式了33232√(a2)−(x2)112x31例5：∫dx=∫dx，注意到的导数为−3ln2，2x+332x2x1+x2至此可以用凑微分法了xxsinx例6：∫dx=∫dx1−xcotxsinx−xcosx注意到sinx−xcosx的导数为xsinx第二类换元积分法（1）利用三角函数进行代换

25、：sin2x+cos2x=1tan2x+1=sec2xcot2x+1=csc2x换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会）例如以下两个基本积分公式xa2x∫√a2−x2dx=√a2−x2+arcsin+C22a??2∫√?2±?2??=√?2±?2±ln

26、?+√?2±?2

27、+?22dx例：∫(x2+9)3利用tan2x+1=sec2x，令x=3tant，这里x可以取到全体实数，那么ππt取(−,)就可以保证x取到全体实数，因为t的范围直接影响到三角22函数的正负，所以这一点在涉及

28、到开根号的三角函数表达式时尤为重要。dx3则：∫=∫cos4tdt(x2+9)393至此，∫cos4tdt有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：π∫???????利用cosx=sin(−x)和∫???????求得24令一种解法：∫cos4tdt=∫cos2t(1−sin2t)dt=∫cos2tdt−∫cos2tsin2tdt利用倍角公式可以解出。（2）倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下√a2−x21例：∫dx，令x=，容易求出原函数x4t(二)分部积分法∫μdν=μν