高中数学选修2-1圆锥曲线与方程知识点复习小结

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1、第二章《圆锥曲线与方程》复习小结【自主学习】【学习目标】1.了解圆锥曲线的实际背景，感受其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.经历从具体情境抽象出模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形和简单性质；3.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；4.进一步体会数形结合的思想，了解曲线与方程的关系.【本章知识结构框图】统一定义画方程的曲线求曲线的方程求曲线的交点圆锥曲线的概念曲线与方程圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程焦半径公式圆锥曲线共同特征曲线的方程应用椭圆定义应用双曲线定义几何背景抛物线定义相离椭圆的标准方程应用双曲线的标准方程

2、相切几何背景抛物线的标准方程相交椭圆几何性质圆锥曲线的弦应用双曲线几何性质抛物线几何性质【本章知识与方法导析】一、根据本章知识框图构建立体几何知识系统1.曲线与方程（1）概念：.（2）轨迹与轨迹方程的区别.2．熟练掌握求轨迹方程的常见方法试说明以下几种方法的用法及适用题型（1）五步法（直译法）求轨迹方程，你能说出是哪五步吗？.（2）待定系数法.（3）相关点法（代入法）.（4）定义法.（5）参数法.3．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质椭圆双曲线抛物线定义图形标准方程顶点坐标对称轴焦点坐标离心率渐近线准线4.直线与圆锥曲线的位置关系（1）判断方法代数方法：.几何方法：.

3、（2）弦长的求法（弦长公式）.……5．体会本章蕴含的解析思想（1）坐标法——研究几何问题的有力工具几何图形（定量）——建立坐标系（定位）——用坐标运算研究几何性质，这是本章研究圆锥曲线的基本思路，也是坐标法用法的具体体现.（2）数形结合思想圆锥曲线与方程，一个是几何图形，一个是代数方程，坐标法建立起了它们的关系，必然在研究过程中，数与形的结合是非常重要的手段，也是解决问题的重要途径.（3）“设而不求”思想研究直线与圆锥曲线位置关系，用韦达定理“设而不求”，能简化运算.（4）“形散神聚”——圆锥曲线的统一椭圆、双曲线、抛物线是三种外型上差异很大的几何图形，本质上却有统一的背景和定义

4、——都是平面截圆锥得到的截口曲线；都是平面内到一定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值不同就形成了不同的曲线.6.需要注意的问题（1）研究圆锥曲线，注意“位”和“量”两个方面，比如求标准方程，除需要基本量之外，还要注意焦点的位置；（2）解决直线与圆锥曲线的交点问题时，用代数方法注意对消元后一元二次方程二次项系数是否为0的讨论；用数形结合法时注意特殊情况，如与双曲线渐近线平行，与抛物线对称轴平行等特殊情况；（3）运用定义的意识，回归定义是一种重要的解题策略，如：求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程

5、；涉及椭圆、双曲线上的点与焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决.【课堂点金】【重难点突破】1.轨迹问题【例1】已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足求点T的轨迹C的方程.【解析】法一：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当

6、时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是法二：设点T的坐标为

7、当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当

8、时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（），则因此①由得②,将①代入②，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是【评析】（1）法一是直译法，法二是相关点法，注意掌握求轨迹方程的常见方法；（2）注意轨迹与轨迹方程的区别，在回答轨迹是什么图形时，注意对图形定位和定量两个方面的描述.【变式1】已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.【解析】设线段AB的中点为C，如图，则

9、PA

10、=

11、PB

12、，故

13、PA

14、+

15、PF

16、=

17、PB

18、+

19、PF

20、=

21、FB

22、=2>

23、AF

24、，由椭圆定义知点P的轨迹是以A、F为焦点

25、、长轴为2的椭圆，所以轨迹方程为.2.圆锥曲线的定义及标准方程【例2】中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．【解析】取BC的中点O为原点，BC所在直线为轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，因为，所以B()，．利用正弦定理，从条件得，即．由双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为()．【评析】（1）本题用定义法求轨迹方程，最后一个环节“查漏补缺”是画龙点睛之笔，注意的范围限制；（