2018版高中数学人教b版必修四学案1.3.3 已知三角函数值求角

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1、1.3.3　已知三角函数值求角[学习目标]　1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsinx，arccosx，arctanx的含义，并能用这些符号表示非特殊角．[知识链接]　已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？答　不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．[预习导引]1．arcsiny的含义一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y，即arcsiny(

2、

3、y

4、≤1)表示上正弦值等于y的一个角．2．arccosy的含义一般的对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1]，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记作x＝arccos_y(－1≤y≤1,0≤x≤π)．3．arctany的含义一般地，如果正切函数y＝tanx(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值，在开区间内有且只有一个角x，使tanx＝y，记作x＝arctan_y.要点一　已知正弦值，求角例1　已知sin＝－，求x.解　设x－＝t，则有sint＝－.5t∈时，t＝arcsin，又sint＝－，所以t是第三、四象限角，且t1＝arcsin

5、是第四象限角．又sin＝sin＝－，且π－arcsin是第三象限角，所以t2＝π－arcsin.由正弦函数周期性可知t＝2kπ＋t1或t＝2kπ＋t2(k∈Z)时，sinx＝－.所以t＝2kπ＋arcsin(k∈Z)，或t＝2kπ＋π－arcsin(k∈Z)．因此x的集合为，.规律方法　方程y＝sinx＝a，

6、a

7、≤1的解集可写为{x

8、x＝2kπ＋arcsina，或(2k＋1)π－arcsina，k∈Z}．也可化简为{x

9、x＝kπ＋(－1)karcsina，k∈Z}．跟踪演练1　已知sinx＝.(1)当x∈时，求x的取值集合；(2)当x∈[0,2π]时，求

10、x的取值集合；(3)当x∈R时，求x的取值集合．解　(1)∵y＝sinx在上是增函数，且知sin＝.∴满足条件的角只有x＝.∴x的取值集合为.(2)∵sinx＝>0，∴x为第一或第二象限角且sin＝sin＝.∴在[0,2π]上符合条件的角x＝或x＝.5∴x的取值集合为.(3)当x∈R时，x的取值集合为.要点二　已知余弦值，求角例2　已知cosx＝－.(1)当x∈[0，π]时，求x；(2)当x∈[0,2π]时，求x；(3)当x∈R时，求x的取值集合．解　(1)∵cosx＝－，且x∈[0，π]，∴x＝arccos＝π－arccos.(2)∵x∈[0,2π]且c

11、osx＝－<0.∴x为第二象限角或第三象限角．∴x＝π－arccos或x＝π＋arccos.(3)当x∈R时，x与π－arccos终边相同或者与π＋arccos终边相同．∴x＝2kπ＋π－arccos(k∈Z)或x＝2kπ＋π＋arccos(k∈Z)．∴x的取值集合是.规律方法　方程cosx＝a，

12、a

13、≤1的解集可写成{x

14、x＝2kπ±arccosa，k∈Z}．跟踪演练2　若cos2x＝，其中

15、anα＝－2，且α∈[0,2π]，求α；(3)已知tanα＝－2，α∈R，求α.解　(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tanα＝－2的角只有一个，故α＝arctan(－2)．(2)∵tanα＝－2<0，∴α是第二或第四象限角．又∵α∈[0,2π]由正切函数在区间，上是增函数，知符合tanα＝－2的角有两个，∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tanα＝－2且arctan(－2)∈.∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)．(3)α∈R，则α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z)．规律方法方程tanx＝a，a∈R的解集

16、为{x

17、x＝kπ＋arctana，k∈Z}．跟踪演练3　已知tanx＝－1，求x，并写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.解　因为tanx＝－1，所以满足条件的x的解集为{x

18、x＝kπ＋arctan(－1)，k∈Z}＝x

19、x＝kπ－，k∈Z，在x＝kπ－中，令k＝0或－1，得x＝－或x＝－，即在[－2π，0]内正切值为－1的角x有2个：－与－.1．已知α是三角形的内角，sinα＝，则角α等于(　　)A.B.C.或D.或答案　D2．若sinx＝，x∈，则x等于(　　)5A．arcsinB．π－arcsinC.＋arcsinD．－arcsin答案　B3．若c

20、osx＝，x∈，则x＝________.答案　－arccos4．a