对“圆锥曲线”章节复习的几点建议

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1、对“圆锥曲线”章节复习的几点建议圆锥曲线是高中数学的一个重点内容，同时也是每年高考的一个热点问题。在高三该章节的复习中，应尽量做到定义、方程、图形、性质的有机联系和对比，引导学生从以下四个方面予以突破。一、围绕定义作文章高中数学新教材都是从日常生活实际应用出发，结合图形给出了椭圆、双曲线、抛物线的第一定义；同时又用动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数，根据e与1的大小关系给出了圆锥曲线的第二定义，即统一定义。解题过程中应紧扣定义，利用好第一和第二两定义，许多疑难问题则可迎刃而解!例1．动点A在双曲线x–y=4上，F、F是其左、右焦点，从F引

2、平分线的垂线，垂足为P，求点P的轨迹。解：延长FP交FA于点B(图略)，则：

3、AB

4、=

5、AF

6、，OP为的中位线，由双曲线第一定义知：

7、

8、FA

9、–

10、AF

11、=4=

12、

13、FA

14、–

15、AB

16、

17、=

18、BF

19、，故

20、OP

21、=

22、BF

23、=2，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆x+y=4。类似地：P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（　Ａ　）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．方程表示的曲线是()．A．圆　　B．椭圆　　C．双曲线　　D．抛物线解：原方程可转化为，　由圆锥曲线的第二定义即知动点(ｘ，y

24、)到定点(1，1)的距离和它到直线x＋y＋1=0的距离之比为，　选（Ｃ）．类似地：(2003年湖南省高中数学竞赛题)　　　若以圆锥曲线的一条经过焦点F的弦AB为直径的圆与对应的准线ｌ无公共点，则此圆锥曲线为　(　)．　　　A．双曲线　B．椭圆　C．抛物线　Ｄ．椭圆或抛物线（　　无公共点）　　　　选　(B)．二、巧思妙想求方程平面解析几何研究的一个主要问题是：根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。高考中经常考查求轨迹方程，这就要求学生在平时的训练当中，不仅要熟练掌握定义法、直译法、相关点法、待定系数法等常用方法，更应积极思考，巧妙利用平面向量、结合定

25、比分点公式，注意解题思维的优化创新。例3．(2003年高考理科题)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）（A）（B）（C）（D）解：将四个选项方程分别与y=x-I联立消y得：(A)为x+6x—15=0、(B)为x-8x+16=0、(C)为3x-10x+15=0、(D)为3x+4x-12=0，其中只有(D)满足，选(D)．点拨：上述解法采用“整体思维，设而不求”，应注意引导学生加强训练。再如设标准方程：mx+ny=1，当m、n>0且mn时为椭圆；当m·n<0时为双曲线，这样可避

26、免分焦点在x轴和y轴上的讨论!例4．(2002年新课程卷)已知两点，且点使，，成公差小于零的等差数列。（1）．点P的轨迹是什么曲线？（2）．若点P坐标为，记为与的夹角，求．解：(1)．设P(x，y)，则：，，，，，，由已知有：x>0故点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆．(２)　（０＜ｘ），则：，　．三、优化思维导性质平面解析几何研究的另一个主要问题是：通过方程，研究平面曲线的性质。每年高考中涉及焦点、离心率、准线、渐近线等性质的选择、填空题还真不少!这就要求学生在掌握基本几何性质的基础上，更应该发散联想、优化思维，既要保证正确率，又要节省时间

27、。例5．(2003年文科题)双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（）（A）．（B）．（C）．（D）．解：，若取定b=l，则c＝，ｅ＝，选(Ｂ)．例6．如图，椭圆中若

28、AF

29、=2

30、BF

31、，则其离心率ｅ=．解：，而

32、AF

33、=2

34、BF

35、，，．例7．(2000年北京)若双曲线1的两条渐近线互相垂直，则其离心率ｅ=()．A．2　　　　B．　　　　Ｃ．　　　D．解：等轴双曲线的ｅ＝且两条渐近线y＝x互相垂直，反之亦成立．选(Ｃ)．发散：双曲线1中，若a=b则为等轴双曲线；若将“１”改为“–1”，即为其共轭双曲线；若将“1”改为“０”就得其渐

36、近线方程!若点P在其上且，则S＝，类似地在椭圆中有．四、数形结合探重点圆锥曲线中有几类典型问题：(1)．用“整体思维，设而不求”来解答直线与圆锥曲线的位置关系问题；(2)．用“差分法”来解决中点弦问题及相关的对称问题；(3)．最值问题……这些都是学生平时训练得比较多的问题，在此暂不多谈。　复习重点问题时，主要是做到“数形结合，以形助数”!例8．(2000年文理)过抛物线的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于（　　）（A）．　（B）．　（C）．　（D）．解：转化为标准方程，特殊地取PQ为其通径，易知：｜PQ｜=，

37、故p=q＝，故选（　Ｃ　）．例9．(2000年全国高中数学联赛题)如图，椭圆，若其离心率ｅ=，则ABF＝　　　　　　·解：