奇偶性-2017-2018学年高一数学人教版（必修1）

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1、一、函数的奇偶性一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______，那么函数f(x)就叫做奇函数．函数具有奇偶性的条件（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定是否等于．（2）分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．学￥科网（3）若奇函数的定义域包括，则．二、奇函数、偶

2、函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以______为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以______为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以______为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于______对称，则这个函数是偶函数.奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.（2）偶函数在关于原点对称的区间上

3、有相同的最大（小）值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.14性质法判断函数的奇偶性，在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数K知识参考答案：一、二、坐标原点坐标原点轴轴K—重点函数的奇偶性及其判断方法，奇函数、偶函数的图象特征K—难点函数奇偶性的判断方法K—易错在判断函数的奇偶性时，不仅要关注定义域是否关于原点对称，

4、而且要注意函数的奇偶性是针对定义域的任意一个而言的.另外，不要忽略奇函数若在原点处有定义，则1．判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的方法：（1）定义法：14（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．【例1】下列判断正确的是A．函数是奇函数B．函数是非奇非偶函数C．函数是偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数【答案】B14【解析】对于A，的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数.对于B，，，不满足奇偶性的

5、定义，是非奇非偶函数.对于C，函数的定义域为，关于原点对称.当时，；当时，.综上可知，函数是奇函数.对于D，的图象为平行于轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.【名师点睛】对于C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明与的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D项中的函数是，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.【例2】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A．是偶函数　　B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，

6、选C．2．奇偶函数图象对称性的应用奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，因此可以借助函数一部分的图象得出函数另一部分的图象，进而研究函数的性质.【例3】设奇函数的定义域为.若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是14A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象易知当时，；当时，.又奇函数的定义域为，所以当时，；当时，.则不等式的解集是.【名师点睛】利用数形结合思想解题时，要准确画出草图，并注意特殊点的位置，且求解时不要忽略定义域的限制.3．函数奇偶性的应用（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，

7、注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解.（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.（3）利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小.【例4

8、】设偶函数的定义域为R，当x时是增函数，则,,的大小关系是A．>>B．>>C．<,从而>>.【名师点睛】由于偶函数在轴两侧的单调性相反，故不可直接由得出.【例5】已知偶函数在区间上单调递增，