北师大版高中数学（必修5）2.3《解三角形的实际应用举例》（理）word教案

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1、第二章第2-3节三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例（理）北师大版必修5【本讲教育信息】一、教学内容：三角形中的几何计算及实际应用举例二、教学目标（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。三、知识要点分析：1.三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：）（i）大角对大边：（ii）正弦定理：，（R是三角形外接圆的半径）（iii）余弦定理：（iv）三角形的面积S

2、△ABC2.解决实际问题的有关知识点（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。（3）解决实际问题的步骤（i）理解题意分清已知与未知。（ii）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。（iii）作答。3.掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（ii）（iii）【典型例题】考点一：三角形中的几何计算例1.设D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点，AB=AD，。（1）求证：，（2）若求的值。思路分析：（1）由已知

3、找出与的关系，即，即可证明。（2）由正弦定理得到关于的方程即可。解：（1）由AB=AD.①（2）由正弦定理得：将此式代入①得：②将②整理得：又故。即所求的角是例2.设P是正方形ABCD内一点，P到A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD的边长思路分析：设正方形的边长为x，根据角ABP与角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立关于x的方程，再求解。解：设边长是x，（1

4、三角形（已有三角形，不需构造），能构造特殊三角形的尽可能地构造特殊的三角形。考点二：研究几何计算问题中的最值问题。如图所示，点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作半圆的切线PT，使PT=1，则如何确定P点的位置？才能使得四边形ABTP的面积最大？思路分析：由已知得P点的变化引起角PAB的变化，故可把四边形ABTP的面积表示成关于角PAB的函数，然后求函数的最值。解：连接BP，设∠PAB＝α，由AB为直径得∠APB＝90°，即△APB是直角三角形，由AB=PT=1得：。又PT是圆的切线，故，∠BPT＝∠PAB＝α例4.在等边三角形ABC中，AB=a，O为中心，过O的直线交AB于

5、M，交AC于N，求的最大值。思路分析：由于M、N的变化导致角MOA的变化，然后利用正弦定理，把式子表示成角MOA的函数，再求最大值。解：由已知∠MAO=∠NAO＝30°，设∠MOA＝θ，则故当时，即时，取得最大值是。【说明】在三角形几何计算中解决最值问题的关键是引入变量。考点三：利用正弦定理、余弦定理解决实际问题例5.（1）（航海问题）已知一测高仪表失灵的飞机在高空以300km/h的速度按水平方向向东飞行，飞机的航线和山顶C在同一铅直的平面内，若在A处的飞行员利用测角仪器测得先看到海拔高度为4000m的山顶C的俯角为15°，经120秒后在B点又看到山顶C的俯角是60°，求飞机现

6、在的海拔高度。思路分析：先根据已知条件画出图形，找出两个俯角，再根据正弦定理求出BC，在直角三角形BCD中求出CD，CD加上山的高度即是飞机现在的海拔高度。解：根据已知画出图形（如图）∠BAC=15°，∠DBC=60°，故∠BCA=45°又AB=300×=10（km），则在△ABC中由正弦定理得：[来在直角△BDC中：CD=BCsin60°=故飞机飞行的海拔高度是3170+4000=7170（米）（2）某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以每小时9海里的速度向小岛B靠

7、拢，我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救，求舰艇的航向及靠近渔轮的时间。思路分析：根据题意先画出图形，设舰艇收到信号后x小时在B处靠拢渔轮，在三角形ABC中利用余弦定理可求得x，再用正弦定理求得舰艇的航向。解：设舰艇收到信号x小时在B处与渔轮靠拢，则AB=21x，BC=9x，AC=10，∠ACB=120°在△ABC中，由余弦定理得：120°整理得：，由正弦定理可求∠BAC≈21.8°，答：舰艇沿方位角（45°+21.8°）的方向航行40min可靠近渔轮。例6.（测量问题）欲测量河对岸