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时间:2018-04-03
《高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料:导数的创新应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、www.ks5u.com导数的创新应用有好多数学问题,利用函数导数求解,可以使得有些数学问题得到简化.下面选解几例.一、求数列的n项和例1已知x≠0,x≠-1,求数列1,2x,3x,…,nx,…的前n项和.分析:根据题特点,可构造等式1+x+x+x+…+x=,求导即可.解:当x≠0,x≠-1时,1+x+x+x+…+x=,两边都是关于x的函数,求导得:1+2x+3x+…+nx==.评注:这样的问题可以通过错位相加(减)求和,但运用导数运算更加简明.二、求组合数的和例2求和:C+2C+3C+…+nC.分析:根据题特点,可构造等
2、式(1+x)=1+Cx+Cx+Cx+…+Cx,求导即可.解:由二项展开式,得:两边求导,得:n(1+x)=C+2Cx+3Cx+…+nCx.令上式x=1,得:C+2C+3C+…+nC=n·2.评注::利用组合数的性质或构造概率模型都可以求解,但运算量都比求导麻烦.三、证明不等式例3证明:.分析:构造函数,求导,再用单调性即可解决.证明:构造,则.该二次式的判别式,,是上的增函数.,,而,.评注:本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中,而是具体问题具体分析,考虑三角函数的有界性,用架桥铺路,使问题得解.四、方程根
3、的问题例4求证方程xlgx=1在区间(2,3)有且仅有一个实根.分析:可构造函数,利用导数法解决.解:设y=f(x)=xlgx-1,∴y′=lgx+lge=lgex,当x∈(2,3)时,y′>0,∴f(x)在(2,3)上为增函数,又f(2)=2lg2-1=lg0.4<0,f(3)=3lg3-1=lg2.7>0,∴在(2,3)内xlgx-1=0有且仅有一个实根.评注:本题是通过构造函数f(x)=xlgx-1,利用导数判断函数f(x)在区间(2,3)上的单调性及函数f(x)在两个端点的值的符号进行求解的.一般地,如果函数在区间
4、(a,b)上具有单调性,那么,当f(a)f(b)<0时,方程f(x)=0在区间(a,b)有唯一解;当f(a)f(b)>0时,方程f(x)=0在区间(a,b)无实数解.
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