2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义学案-新课标人教版必修4

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1、2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义重点：通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。体会平面向量的数量积与向量投影的关系。会进行平面向量数量积的运算教学过程一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：（2）两向量共线的判定（3）力做的功：W=

2、F

3、×

4、s

5、cosq，q是F与s的夹角.由功引入向量数量积概念叫做a与b的数量积（内积）记做定义式向量a在b方向上的投影规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考：1，向量a在b方向上的投影是数还是向量？它什么时候为正，什么时候为负？定义：

6、b

7、

8、cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

9、b

10、；当q=180°时投影为-

11、b

12、.2，向量的数量积是数还是向量？它什么时候为正，什么时候为负？3，向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影

13、b

14、cosq的乘积.注意：两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省

15、略，也不能用“×”代替.探究：设a，b都是非零向量则当a，b同向时，当a，b反向时，特别的a×a=

16、a

17、2或

18、a×b

19、≤

20、a

21、

22、b

23、cosq=课本例1探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a×b=b×a证：设a，b夹角为q，则a×b=

24、a

25、

26、b

27、cosq，b×a=

28、b

29、

30、a

31、cosq∴a×b=b×a2．数乘结合律：(a)×b=(a×b)=a×(b)证：若>0，(a)×b=

32、a

33、

34、b

35、cosq，(a×b)=

36、a

37、

38、b

39、cosq，a×(b)=

40、a

41、

42、b

43、cosq，若<0，(a)×b=

44、a

45、

46、b

47、cos(p-

48、q)=-

49、a

50、

51、b

52、(-cosq)=

53、a

54、

55、b

56、cosq，(a×b)=

57、a

58、

59、b

60、cosq，a×(b)=

61、a

62、

63、b

64、cos(p-q)=-

65、a

66、

67、b

68、(-cosq)=

69、a

70、

71、b

72、cosq.3．分配律：(a+b)×c=a×c+b×c在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

73、a+b

74、cosq=

75、a

76、cosq1+

77、b

78、cosq2∴

79、c

80、

81、a+b

82、cosq=

83、c

84、

85、a

86、cosq1+

87、c

88、

89、b

90、cosq2，∴c×(a+b)=c×a+c×b即：(a+b)×c=

91、a×c+b×c判断正误：1，a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.2，已知b¹0，a×b=b×c则a=c3，(a×b)c=a(b×c)4，ａ２＝｜ａ｜２，5，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ课本例2．已知

92、a

93、=12，

94、b

95、=9，，求与的夹角。例3．已知

96、a

97、=6，

98、b

99、=4，a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b).（2）

100、a+b

101、与

102、a-b

103、.例4．已知

104、a

105、=3，

106、b

107、=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.四、课堂练习：1，．

108、a

109、=3

110、，

111、b

112、=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直2，已知

113、a

114、=1，

115、b

116、=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）xkb1.comA.60°B.30°C.135°D.４５°3,已知

117、a

118、=2，

119、b

120、=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（）A.2B.2C.6D.124,已知

121、a

122、=8，

123、b

124、=10，

125、a+b

126、=16，求a与b的夹角余弦.答案BDB0.575