北师大版必修一数学：4.2《实际问题的函数建模问题》导学案

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1、4.2　实际问题的函数建模问题导学一、二次函数模型的应用活动与探究1某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元．设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)，月收益为y元(总收益＝设备租金收入－未租出设备费用)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？迁移与应用某旅游公司的最大接待量为1000人，为保证公司正常运作，实际的接待量x要小于1000，留出适当的空闲量(如：当接待量为800人时，则空闲量为200人)，空闲

2、量与最大接待量的比值叫作空闲率．已知该公司4月份接待游客的月增加量y(人)和实际接待量x(人)与空闲率的乘积成正比．(设比例系数k＞0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出定义域；(2)当k＝时，求4月份游客日增加量的最大值．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题列出二次函数解析式后，通常可利用配方法求出其最值，但应注意函数自变量的取值范围，即应在函数定义域的前提下求最值．二、分段函数模型活动与探究2某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与

3、t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．迁移与应用某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)．(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．需注意分段函数的最值，是各区间上解析式所得最值的最大者或最小

4、者．三、指数函数模型的应用活动与探究3有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同．若该元素最初的质量为50g，经过一年后质量变为40g.(1)设x(x≥0)年后，这种放射性元素的质量为yg，写出y关于x的表达式．(2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到0.1年，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)迁移与应用某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%.(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式；(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？(参考数据：l

5、g2＝0.3010)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时，注意用列举、归纳等方法来探求内在的规律．四、对数函数模型的应用活动与探究4大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝log3，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．迁移与应用燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子

6、的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据所求值回答其实际意义．当堂检测1．一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是(　　)．A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型2．某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的

7、散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(　　)．A．y＝2tB．y＝2t2C．y＝t3D．y＝log2t3．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系最接近(其中a，b为待定系数)函数(　　)．A．y＝a＋bxB．y＝bxC．y＝ax2＋bD．y＝4．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从200