苏教版选修2-3高中数学2.6《正态分布》word导学案

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1、2.6 正态分布学习目标重点、难点1.了解正态分布的广泛应用性;2.能说出正态分布的参数μ,σ对正态分布曲线形状与位置的影响;3.会用正态分布的几个特殊概率值计算相关的概率并应用于实际问题.重点:认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义.难点:求满足标准正态分布的随机变量X在某一范围内的概率值.1.正态密度曲线在频率分布直方图中,若数据无限增多且组距无限缩小,那么频率分布直方图上的频率折线就将趋于一条光滑的曲线,我们将此曲线称为概率密度曲线.函数的表达式是,x∈R,此函数为正态分布密度函数.它所表示的曲线叫正态密度曲线.这里有两个参数μ和σ,其中σ>0,

2、μ∈R,不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线.预习交流1正态分布密度曲线与μ,σ的关系是怎样的?提示:①正态曲线关于直线x=μ对称;②当x<μ时,曲线上升,当x>μ时曲线下降;③曲线的形状由σ确定,σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡.2.正态分布密度函数的性质若X是一个随机变量,则对任给区间(a,b],P(a<X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a,b]上方所围成的图形面积,我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布,简记为X~N(μ,σ2).随机变量X取值落在区间(μ-σ,μ+σ)上的概率约为68.3%,落在区间(μ-2σ,μ+2σ)上的

3、概率约为95.4%,落在区间(μ-3σ,μ+3σ)上的概率约为99.7%.预习交流2若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)的几何意义是什么?提示:表示X取值落在区间(μ-σ,μ+σ)的概率和正态曲线与X=μ-σ,X=μ+σ以及x轴所围成的图形的面积,大约是68.3%.在预习中,还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个备忘吧!我的学困点我的学疑点1.正态分布密度函数下列函数中哪个是正态分布密度函数__________.①;②;③;④.思路分析:正态密度函数的表达式为,凡符合此表达式的均为正态分布密度函数.答案:②解析:①是错误的,错在系

4、数部分中的σ应在分母的根号外.②是正确的,它是正态分布密度函数,其中μ=0,σ=1.③是错误的,从系数部分看σ=2,可从指数部分看σ=,不统一.④是错误的,指数部分缺少一个负号.设一正态总体,它的概率密度曲线是函数的图象,则这个正态总体的均值与方差分别是:μ=__________,σ2=__________.答案:10 4解析:对比正态密度函数知,μ=10,σ2=4.对于正态分布密度函数,x∈(-∞,+∞),不但要熟记它的解析式,而且要知道其中字母是变量还是常量,还要注意指数上的σ和系数的分母上σ是一致的,且指数部分是一个负数.2.正态分布密度函数的性质设ξ

5、~N(1,22),求P(3<ξ≤5).思路分析:要求随机变量ξ在某一范围内的概率,只需借助于正态密度曲线的图象性质以及常见的区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)的概率值进行转化求值.解:∵P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1),∴P(3<ξ≤5)=[P(-3<ξ≤5)-P(-1<ξ≤3)]=[P(1-4<ξ≤1+4)-P(1-2<ξ≤1+2)]=[P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ<ξ≤μ+σ)]=×(0.954-0.683)=0.1355.设ξ~N(1,22),则P(ξ≥5)=__________.答案:0.023解

6、析:∵P(ξ≥5)=P(ξ≤-3),∴P(ξ≥5)=[1-P(-3<ξ≤5)]=[1-P(1-4<ξ≤1+4)]=[1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)]=×(1-0.954)=0.023.解答此类题的关键在于充分利用正态分布曲线的对称性,把待求区间的概率向已知区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率进行转化.3.正态分布的实际应用在某次数学考试中,考生的成绩X服从一个正态分布,即X~N(90,100).(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率;(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)

7、内的考生大约有多少人?思路分析:正态分布已经确定,则总体的期望μ和方差σ就可以求出,根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.解:∵X~N(90,100),∴μ=90,σ==10.(1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.954,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率为0.683,所以考试成绩X位于区间(80,100)内

8、的概率为0.683.一共有2000名考生,所以考试成

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