抛物线及其标准方程教案新人教a版选修2-3数学

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1、§2.3.1抛物线及其标准方程【学情分析】:学生已经学习过椭圆和双曲线,掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征,建立适当的直角坐标系,求椭圆和双曲线标准方程的过程。【教学目标】:(1)知识与技能:掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念;能根据抛物线标准方程求焦距和焦点,初步掌握求抛物线标准方程的方法。(2)过程与方法:在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中,提高学生学习能力。(3)情感、态度与价值观:培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。【教学重点】:抛物线的定义和抛物线的标准方程。【教学难点】:(1)抛物线标准方程的

2、推导;(2)利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。【课前准备】:Powerpoint或投影片【教学过程设计】:教学环节教学活动设计意图一、复习引入1.椭圆的定义:平面内与两定点F1、抛物线的定义F2的距离的和等于常数()的点的轨迹.2.双曲线的定义:平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数()的点的轨迹.3.思考:与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹,当0<e<1时是椭圆,当e>1时是双曲线.那么,当e=1时它是什么曲线呢?抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.学

3、生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法,让学生了解抛物线的形成,从而理解并掌握抛物线的定义。二、建立抛物线的标准方程如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合.设,则焦点F的坐标为(,0),准线的方程为.设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d.由抛物线的定义,抛物线就是点的集合.∵;d=.∴.化简得:.注:叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴,坐标是,准线方程是.探究:抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表。根据抛物线的定义,让学生逐步填空,推出抛物线的标准方程

4、。通过填空,让学生牢固掌握抛物线的标准方程。三、例题讲解例1求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(-3,2);  (2)焦点在直线x-2y-4=0。分析:根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可,注意标准方程的形式。解:(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),则将点(-3,2)方程得或。      ∴所求的抛物线方程为    (2)令x=0,由方程x-2y-4=0的y=-2. ∴抛物线的焦点为F(0,-2).设抛物线方程为x2=2py。则由得,∴所求的抛物线方程为x2=-8y或令y=0由x-2y-4=0得x=4,∴抛物线焦点为F(4,0) .设抛物

5、线方程为y2=2px。则由得,为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。∴所求的抛物线方程为y2=16x   注意:本题是用待定系数法来解的,要注意解题方法与技巧。例2已知抛物线的标准方程,求焦点坐标和准线方程。 (1)y2=6x;  (2)y=ax2.分析:先写成标准方程,再求焦点坐标和准线方程。解:(1)由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是(2)将抛物线方程化为标准方程,则焦点坐标为,准线方程为  例3已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值。分析:解本题的基本思路有两个,其一设抛物线方程,利用点M在抛物线上和

6、点M到焦点的距离等于5,列出关于m、p的方程组,解关于m、p的方程组;其二利用抛物线的定义,得点M到准线的距离为5,直接得p的关系式,求出p的值。解:(方法一)设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则焦点,由题设可得,解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为(方法二)由抛物线的定义可知,点M到准线的距离为5,∵M的坐标为(-3,m),∴,∴p=4,故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为四、巩固练习1.选择:⑴若抛物线y2=2px(p<0)上横坐标为-6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是(B)A、4B、8C、16D、32⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线

7、于,若,那么等于(B)A.10B.8C.6D.4⑶已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点。当最小时,M点的坐标是(C)A.B.C.D.2.填空:⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是;⑵抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>),则点M到准线的距离是_a_,点M的横坐标是.四、巩固练习3.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.围绕抛物线标准方程练习,让学生熟练掌握抛物线的定义和标准

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