初中数学竞赛辅导资料（18）式的整除

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1、初中数学竞赛辅导资料（18）式的整除甲内容提要1．定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。2．根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式，那么　式的整除的意义可以表示为：　若f(x)＝p(x)×q(x)，　则称f(x)能被p(x)和q(x)整除　例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x+1）,∴x2－3x－4能被（x－4）和（x+1）整除。显然当　x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，3．一般地，若整式f(x)含有x–a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整

2、除f(x)。4．在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab　　　则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。乙例题例1己知　x2－5x+m能被x－2整除，求m的值。x－3解法一：列竖式做除法　　（如右）　　　　　　　x－2　x2－5x+m　　由　余式m－6＝0　得m=6　　　　　　　　　　x2－2x　　　　解法二：∵x2－5x+m含有x－2的因式－3x+m∴以x=2代入x2－5x+m得－3x+622－5×2＋m=0得m=6m－6解法三：设x2－5x+m除以x－2的商是x+a　(a为待定系数)　　

3、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　那么　x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝　x2+(a-2)x－2a　根据左右两边同类项的系数相等，得　　　解得　（本题解法叫待定系数法）例2己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除求：m、n的值及商式　　解：∵被除式＝除式×商式　（整除时余式为0）∴商式可设为x2+ax+b　得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b）＝x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b　根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得　　　　　　　解得　　　∴m=－11

4、,　n=4,　商式是x2－3x+4　　例2m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz(xyz≠0)能被x+y+z整除?　　　　解：当　x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时，它含有x+y+z因式　令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0　即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0　　把左边因式分解，得　－yz(y+z)(m+3)=0,∵yz≠0,　∴当y+z=0或m+3=0时等式成立　　∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值　，当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。例4　分解因式x3－x+6分

5、析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）　解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）丙练习181．若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10,则m=___,n=___2．x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿3．己知x3+mx+4能被x+1整除，求m4．己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x–2,求a和b的值5．己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式6．己知

6、ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b.7．分解因式：①x3-7x+6,②x3-3x2+4,③x3-10x-3　8.选择题①　x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A)(x+y)(y-z)(x-z)(B)(x+y)(y+z)(x-z)(c)(x-y)(y-z)(x+z)　　(D)(x-y)(y+z)(x+z)②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（　　）（A）p=100,q=10(B)p=50

7、00,q=20(C)p=50,q=12,(D)p=300,q=15.参考答案练习181.–4，22.2；4x+53.34.5.商式x-16.127.①(x-1)(x-2)(x+3),②(x-2)2(x+1),③(x+3)(x2-3x-1)8.①(A)②(D)