南京财经大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷——818高等代数

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1、南京财经大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷考试科目：818高等代数适用专业：应用数学考试时间：2008年1月20日下午2:00-5:00注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.1.(15分)设为两个非0多项式,证明存在正整数N,使对任意大于N的两个正整数n,m,都有2.(15分)计算阶行列式.3.(20分)设为A中划去第i列剩下的方阵的行列式.(1)证明为的一个解.(2)若秩则的所有解向量均为C的线性组合.3.(20分)证明：(1)对任何实矩阵当且仅当(2)设为同阶实

2、对称矩阵,则当且仅当5.(20分)证明：(1)若A为正定矩阵,则存在正定矩阵P,使得(2)若矩阵A,B同阶,且A正定,B半正定,则AB的特征值均为非负实数.6.(20分)设X为数域P上线性空间V的一个子集,称V在X上自由,若对P上任一线性空间W,及任一映射,均存在线性映射使f在X上的限制此时也称V是自由的.(f是线性映射指:f是V到W的一个映射,且保持向量加法及数量乘法运算).证明:(1)P上任一n维向量空间是自由的.(2)对无穷维线性空间上述结论是否成立?若成立,给出证明;若否,给出反例.7.(20分)

3、设s为数域P上n维线性空间V的一个线性变换,均为P上的多项式,且记证明(1)U和W均为s-不变子空间.(2)若g(x)与h(x)互素,则8.(20分)设V为数域P上的n维线性空间,求证:(1)　V的所有线性变换构成的线性空间L(V)是维的.(2)　若AÎL(V),则存在次数不超过的P上的多项式使(3)　A可逆当且仅当有一常数项不为0的多项式使(要求:在证明(2)和(3)两小题时,不允许直接使用Hamilton-Cayley定理)