全国初中数学竞赛辅导（初2）第12讲平行四边形

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1、第十二讲平行四边形　　平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．　　由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：　　(1)平行四边形对角相等；　　(2)平行四边形对边相等；　　(3)平行四边形对角线互相平分．　　除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：　　(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；　　(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；　　(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；　　(4)

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．　　例1如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．　　分析只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．　　证因为ABCD是平行四边形，所以ADBC，ABCD，∠B=∠D．　　又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而AE=CF．　　所以　　Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以△BEM≌△DFN(SAS)，　　ME=NF．①　　又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以△MAF≌△NCE(SAS)

3、，　　所以MF=NF．②　　由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．　　例2如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．　　分析AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．　　证作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以

4、GA=GH，从而△ABG≌△HBG(AAS)，　　所以AB=HB．①　　在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，　　所以△ABE≌△HBE(SAS)，　　所以AE=EH，∠BEA=∠BEH．　　下面证明四边形EHCF是平行四边形．　　因为AD∥GH，所以　　∠AEG=∠BGH(内错角相等)．②　　又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以∠AGB=∠GEH．　　从而EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．　　由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE．　　说明本题添加辅助线GH⊥BC

5、的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．　　人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的．　　例3如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．　　分析由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的

6、位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．　　证延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以△MCF≌△MBE(AAS)，　　所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知∠F=∠MDC，　　又由已知MC=CD，所以∠MDC=∠CMD，　　则∠MCF=∠MD

7、C+∠CMD=2∠F．　　从而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．　　例4如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．　　分析只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=