2012届江苏省常州市学业水平监测高三数学试卷及答案

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1、常州市教育学会学业水平监测高三数学试题2012年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。1、已知集合，若,则实数的值为。2、若（为虚数单位），则复数=。3、已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为。4、用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人。若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为人。5、用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是。6、函数的最小正周期为。7

2、、在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若，则该椭圆的离心率的值为。8、已知等比数列的各均为正数，且，则数列的通项公式为。9、设，已知函数，若曲线在处的切线恒过定点P，则点P的坐标为。10、对于函数，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；（2）若，则函数的图象关于直线对称；（3）若，则函数是周期函数；（4）若，则函数的图象关于点（0,0）对称。其中所有正确命题的序号是。11、设函数在R内有定义，对于给定的正数，定义函数，若函数，则当时，函数的单调减区间为。12、已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则

3、的最大值为。13、已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数。若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是。14、已知均为正实数，记，则的最小值为。二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤。15.（本小题满分14分）已知、,向量。（1）当时，若，求的取值范围；（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围。16．（本小题满分14分）如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点。求证：（1）EF∥平面；（2）平面CEF⊥平面ABC。17．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，且

4、依次是等比数列的前三项。（1）求数列及的通项公式；（2）是否存在常数且，使得数列是常数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆与轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为。记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为（为常数）的椭圆为D。（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；（2）当时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在轴上方），点P关于轴的对称点为N，设直线QN交轴于点L，试判断是否为定值？并

5、证明你的结论。19．（本小题满分16分）如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形。已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H。设弧AD的长为，。（1）求关于的函数关系式；（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。证明：当角满足：时，招贴画最优美。20．（本小题满分16分）设为实数，函数。（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；（2）求函数的单调区间。常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题）2012年1月21.【选做题】本

6、题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A。选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交⊙O于点E，H为△ABC的垂心。求证：DH=DE。B。选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）求矩阵的特征值及对应的特征向量。C。选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，O为极点，求过圆C：的圆心C且与直线OC垂直的直线的极坐标方程。D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知均为正实数，求证：≥。【必做

7、题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。http22．已知斜率为的直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A、B两点。设线段AB的中点为M。（1）求点M的轨迹方程；（2）若时，点M到直线（为常数，）的距离总不小于，求的取值范围。23．已知正项数列中，。用数学归纳法证明：。