试题名称：初中数学竞赛辅导资料（51）待定系数

《试题名称：初中数学竞赛辅导资料（51）待定系数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、初中数学竞赛辅导资料（51）待定系数法甲内容提要1.多项式恒等的定义：设f(x)　和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.　例如：（x+3）2=x2+6x+9,　　　　　　5x2－6x+1=(5x－1)(x－1),x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7).都是恒等式.　根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.　例如：已知：恒等式ax2+bx+

2、c=2(x+1)(x－2).求：①a+b+c；　　　②a－b+c.解：①以x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4.　　　　　②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.　　即如果a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an=　b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn那么a0=b0，a1=b1，　　……，an－1=bn－1，an=bn.上例中又解：∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.∴a=2,　b=－2,　c=－4.∴a+

3、b+c＝－4，　　a－b+c＝0.3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.乙例题例1.已知：求：A，B，C的值.解：去分母，得x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值），　　　　　　　当x=0时，　2＝－6A.　　∴A＝－.当x=3时，　8＝15B.　　　∴B＝.当x=－2时，　8＝10C.　　　∴C＝.本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后

4、用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.例2.把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式.解：用待定系数法：设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得　　　x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a　　　　+bx2－2bx+b　　　　　+cx－c　　　　　+d用恒等式的性质，比较同类项系数，得　　解这个方程组，得∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.本

5、题也可用换元法：　　设x－1=y,　那么x=y+1.把左边关于x的多项式化为关于y的多项式，最后再把y换成x－1.例1.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求：a和b的值.解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2　（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得　4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得方程组；　或.解得.例2.推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程ax3+bx2+cx+d=

6、0(a≠0)的三个根分别为x1,　x2,　x3.原方程化为x3+.∵x1,　x2,　x3是方程的三个根.∴x3+(x－x1)(x－x2)(x－x3).把右边展开，合并同类项，得x3+=x3－(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3.比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x1+x2+x3=－，　x1x2+x1x3+x2x3＝，　x1x2x3＝－.例1.已知：x3+px+q能被（x－a）2　　整除.求证：4p3+27q2=0.证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x

7、+b）.x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b.　　由①得b=2a，　代入②和③得　　　　　　∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2=4×（－27a6）+27×（4a6）=0.　（证毕）.例2.已知：f(x)=x2+bx+c是g(x)=x4+6x2＋25的因式，也是q(x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求：f(1)的值.解：∵g(x),q(x)都能被f(x)整除,它们的和、差、倍也能被f(x)整除.为了消去四次项，设g(x)－q(x)＝kf(x),(k为正整数)

8、.即14x2－28x+70＝k(x2+bx+c)　　　　　　　　14（x2－2x+5）＝k(x2+bx+c)∴k=14,　b=－2,　　c=5.即f(x)=x2－2x+5.　∴f(1)=4.例3.用待定系数法，求（x+y）5的展开式解：∵展开式是五次齐次对称式，∴可设（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3)(a,　b,　c是待定系数.)　　　当　x