高中数学竞赛标准教材《 整数问题》讲义稿

高中数学竞赛标准教材《 整数问题》讲义稿

ID:8765438

大小:127.00 KB

页数:4页

时间:2018-04-07

高中数学竞赛标准教材《 整数问题》讲义稿_第1页
高中数学竞赛标准教材《 整数问题》讲义稿_第2页
高中数学竞赛标准教材《 整数问题》讲义稿_第3页
高中数学竞赛标准教材《 整数问题》讲义稿_第4页
资源描述:

《高中数学竞赛标准教材《 整数问题》讲义稿》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

1、第十七章整数问题一、常用定义定理1.整除:设a,b∈Z,a≠0,如果存在q∈Z使得b=aq,那么称b可被a整除,记作a

2、b,且称b是a的倍数,a是b的约数。b不能被a整除,记作ab.2.带余数除法:设a,b是两个给定的整数,a≠0,那么,一定存在唯一一对整数q与r,满足b=aq+r,0≤r<

3、a

4、,当r=0时a

5、b。3.辗转相除法:设u0,u1是给定的两个整数,u1≠0,u1u0,由2可得下面k+1个等式:u0=q0u1+u2,0

6、u1

7、;u1=q1u2+u3,0

8、1=qk-1uk+1,0

9、u0且d

10、u1的充要条件是d

11、uk+1;(3)存在整数x0,x1,使uk+1=x0u0+x1u1.5.算术基本定理:若n>1且n为整数,则,其中pj(j=1,2,…,k)是质数(或称素数),且在不计次序的意义下,表示是唯一的。6.同余:设m≠0,若m

12、(a-b),即a-b=km,则称a与b模同m同余,记为a≡b(modm),也称b是a对模m的剩余。7.完全剩余系:一组数y1,y2,…,ys满足:对任意整数a有且仅有一个yj是a对模m的剩余,即a≡yj(modm),则y1,y

13、2,…,ys称为模m的完全剩余系。8.Fermat小定理:若p为素数,p>a,(a,p)=1,则ap-1≡1(modp),且对任意整数a,有ap≡a(modp).9.若(a,m)=1,则≡1(modm),(m)称欧拉函数。10.(欧拉函数值的计算公式)若,则(m)=11.(孙子定理)设m1,m2,…,mk是k个两两互质的正整数,则同余组:x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)有唯一解,x≡M1b1+M2b2+…+Mkbk(modM),其中M=m1m2mk;=,i=1,2,…,k;≡1(modmi),i=1,2,…,k.二、方法与例题1.奇偶分析法。例1有

14、n个整数,它们的和为0,乘积为n,(n>1),求证:4

15、n。[证明]设这n个整数为a1,a2,…,an,则a1,a2,…,an=n,①a1+a2+…+an=0。②首先n为偶数,否则a1,a2,…,an均为奇数,奇数个奇数的和应为奇数且不为0,与②矛盾,所以n为偶数。所以a1,a2,…,an中必有偶数,如果a1,a2,…,an中仅有一个偶数,则a1,a2,…,an中还有奇数个奇数,从而a1+a2+…+an也为奇数与②矛盾,所以a1,a2,…,an中必有至少2个偶数。所以4

16、n.2.不等分析法。例2试求所有的正整数n,使方程x3+y3+z3=nx2y2z2有正整数解。解设x,y,z为其正整数解

17、,不妨设x≤y≤z,则由题设z2

18、(x3+y3),所以z2≤x3+y3,但x3≤xz2,y3≤yz2,因而z=nx2y2-≥nx2y2-(x+y),故x3+y3≥z2≥[nx2y2-(x+y)]2,所以n2x4y4≤2nx2y2(x+y)+x3+y3,所以nxy<。若x≥2,则4≤nxy<≤3,矛盾。所以x=1,所以ny<,此式当且仅当y≤3时成立。又z2

19、(x3+y3),即z2

20、(1+y3),所以只有y=1,z=1或y=2,z=3,代入原方程得n=1或3。3.无穷递降法。例3确定并证明方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解。解首先(a,b,c)=(0,0,0)是方程的整数解,下证该方

21、程只有这一组整数解。假设(a1,b1,c1)是方程的另一组整数解,且a1,b1,c1不全为0,不妨设a1≥0,b1≥0,c1≥0且,由≡1或0(mod4)知a1,b1,c1都是偶数(否则(mod4)),从而是方程x2+y2+z2=2x2y2的一组整数解,且不全为0,同理可知也都是偶数为方程x2+y2+z2=24x2y2的解。这一过程可以无限进行下去,另一方面a1,b1,c1为有限的整数,必存在k∈N,使2k>a1,2k>b1,2k>c1,从而不是整数,矛盾。所以该方程仅有一组整数解(0,0,0).4.特殊模法。例4证明:存在无穷多个正整数,它们不能表示成少于10个奇数的平方和。[证明]考虑

22、形如n=72k+66,k∈N的正整数,若,其中xi为奇数,i=1,2,…,s且1≤s≤9。因为n≡2(mod8),又≡1(mod8),所以只有s=2.所以,又因为≡2或0(mod3),且3

23、n,所以3

24、x1且3

25、x2,所以9

26、n。但n=72k+66≡3(mod9),矛盾。所以n不能表示成少于10个奇数的平方和,且这样的n有无穷多个。5.最小数原理。例5证明:方程x4+y4=z2没有正整数解。[证明]假设原方程有一组正整数

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。