试题名称:全国初中数学竞赛辅导(初1)第07讲含绝对值的方程及不等式

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1、第七讲含绝对值的方程及不等式  从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.但除零以外,任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值.即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于这个性质,所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点.本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法.  一个实数a的绝对值记作|a|,指的是由a所唯一确定的非负实数:  含绝对值的不等式的性质:   (2)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;  (3)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.  由于绝对值的定义,所以含有绝对值的代数式无法进行

2、统一的代数运算.通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况,脱去绝时值符号,转化为不含绝对值的代数式进行运算,即含有绝对值的方程与不等式的求解,常用分类讨论法.在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.下面结合例题予以分析.  例1解方程|x-2|+|2x+1|=7.  分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号,这可用“零掉绝对值符号再求解.  解(1)当x≥2时,原方程化为(x-2)+(2x+1)=7,   -(x-2)+(2x+1)=7.  应舍去.   -(x-2)-(2x+1)=7.  说明若在x的某个范围内

3、求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内,则这样的解不是方程的解,应舍去.  例2求方程|x-|2x+1||=3的不同的解的个数.  为只含有一个绝对值符号的方程.然后再去掉外层的绝对值符号求解.|x-(2x+1)|=3,    即                |1+x|=3,  所以               x=2或x=-4.                   |x+(2x+1)|=3,即              |3x+1|=3,  的个数为2.  例3若关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解.则a的值是多少?  解若a<0

4、,原方程无解,所以a≥0.由绝对值的定义可知|x-2|-1=±a,  所以|x-2|=1±a.  (1)若a>1,则|x-2|=1-a<0,无解.|x-2|=1+a,x只能有两个解x=3+a和x=1-a.  (2)若0≤a≤1,则由|x-2|=1+a,求得x=1-a或x=3+a;  由|x-2|=1-a,求得x=1+a或x=3-a.  原方程的解为x=3+a,3-a,1+a,1-a,为使方程有三个整数解,a必为整数,所以a只能取0或1.当a=0时,原方程的解为x=3,1,只有两个解,与题设不符,所以a≠0.当a=1时,原方程的解为x=4,0,2,有三

5、个解.  综上可知,a=1.  例4已知方程|x|=ax+1有一负根,且无正根,求a的取值范围.  解设x为方程的负根,则-x=ax+1,即所以应有a>-1.反之,a>-1时,原方程有负根.  设方程有正根x,则x=ax+1,即所以a<1.反之,a<1时,原方程有正根.  综上可知,若使原方程有一负根且无正根,必须a≥1.  例5设  求x+y.  分析从绝对值的意义知  两个非负实数和为零时,这两个实数必须都为零.  解由题设有        把③代入①得解之得y=-3,所以x=4.故有x+y=4-3=1.  例6解方程组  分析与解由①得x-y=

6、1或x-y=-1,即x=y+1或x=y-1.  与②结合有下面两个方程组            解(Ⅰ):把x=y+1代入|x|+2|y|=3得|y+1|+2|y|=3.组(Ⅰ)的解为  同理,解(Ⅱ)有  故原方程组的解为  例7解方程组  解由①得x+y=|x-y|+2.因为|x-y|≥0,所以x+y>0,所以|x+y|=x+y.③  把③代入②有x+y=x+2,所以y=2.将之代入①有|x-2|=x,所以x-2=x,④  或x-2=-x.⑤  ④无解,所以只有解⑤得x=1.故为原方程组的解.  说明本题若按通常的解法,区分x+y≥0和x+y<0

7、两种情形,把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2,对方程①也做类似处理的话,将很麻烦.上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质,从方程①中发现必有x+y>0,因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号,从而简化了解题过程.  例8解不等式|x-5|-|2x+3|<1.    <x≤5,x>5.  -(x-5)-[-(2x+3)]<1,-(x-5)-(2x+3)<1,  (3)当x>5时,原不等式化为x-5-(2x+3)<1,  解之得x>-9,结合x>5,故x>5是原不等式的解.  的解.  例9解不等式1≤|3x-5|≤2.  分析

8、与解此不等式实际上是  解对|3x-5|≥1:           对|3x-5|≤2:          

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