中心极限定理与大数定理的关系

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1、渤海大学学士学位论文题目:中心极限定理与大数定理的关系系别:渤海大学专业:数学系班级:2002级1班姓名：于丹指导教师：金铁英完成日期：2006年5月19日18中心极限定理与大数定理的关系于丹（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理

2、之间的关系。关键词：大数定理中心极限定理收敛性TherelationofthecentrallimittheoremandlargenumberslawYuDan(DepartmentofMathematicsBohaiUniversityLiaoningjinzhou121000China)Abstract：TheCentrallimittheoremisanimportantbranchofprobabilityandmathematicalstatistic.Thelargenumberslawandthecentrallimittheoremislimit

3、questionofrandomvariablesequence.Theyarethequitethoroughtheoryresultinthetheoryofprobability.Thispapercommencesfromlargenumberslaw,thenthecentrallimittheoremiscitedbylargenumberslawandconvergence.Eventually,wecanunderstandconnotationandextensionofthecentrallimittheorembyitsexamplesand

4、relationshipbetweenlargenumberslawandthecentrallimittheorem.Keywords:largenumberslaw;thecentrallimittheorem;convergence.18引言中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论随机变量序列的极限问题。它们是概率论中比较深入的理论结果。中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布，这一事实阐明了正态分布的重要性。中心极限定理也揭示了为什么实际应用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了

5、产生正态分布变量的源泉。本文讨论的主题是大数定理和中心极限定理，通过列举一些例子让我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清楚了大数定理和中心极限定理之间的关系。一随机变量的收敛性随机变量收敛性的定义：设有一列随机变量，如果对于任意的，有则称随机变量序列依概率收敛于，并记作或。下面给出随机变量收敛的几个性质：1.设是一列分布函数，如果对于的每个连续点,都有成立，则称分布函数列弱收敛于分布函数，并记作。2.若随机变量序列以概率收敛于随机变量，即则相应的分布函数列弱收敛于分布函数，即183.随机变量序列（C为常数）的充要条件是基数4.设是k个随机变量序列，并且又是k

6、元变量的有理函数，并且，则有成立。二大数定理大数定理主要说明大数次重复试下所呈现的客观规律，若是随机变量序列，如果存在常数列，使得对任意的，有成立，则称随机变量序列服从大数定理。（一）大数定理的引入在实践中人们发现事件发生的“频率”具有稳定性，在讨论数学期望时，也看到在进行大量独立重复试验时“平均值”也具有稳定性，大数定理正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性。同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”或“平均值”再依据概率收敛的意义下逼近某一常数。此外我们所说的靠近并不是高等数学中的收敛，在高等数学中序列收敛于a（即）指对任意给定的，可找到，使得对所

7、有的，恒有。而且不会有例外。而在概率论中，序列是非确定性变量（随机变量），18以概率收敛于a，是指对任意给定的，当n充分大时，事件发生的概率很大，接近于1（即），但并不排除事件的发生可能性。（二）常见的几种大数定理在介绍大数定理之前，先介绍契贝晓夫不等式：契贝晓夫不等式：设x为随机变量，且有有限方差，则对任意，有或者1、贝努里大数定理：设是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为，则对任意的有或者证明：令则是n个相互独立的随机变量，且而于是由契贝晓夫不等式有又由独立性知道有，从而有所以成立。2、契贝晓夫大数定理：设是一列两两不相关的随机变量，

8、又设它们的