推理2.4兔子数列家族兴旺又添新成员

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1、2．4兔子数列家族兴旺又添新成员附：由递推关系求n重复合函数的定义域斐波那契(LeonardoFibonacci,约1170～1250)也许是生活在丢番图之后，费马之前欧洲最杰出的数学家.在他最重要的著作《算盘书》记载了一个问题：某人饲养一对小兔子，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子在第二个月后也是每个月生一对兔子，问一年后共有多少对兔子.书中对此作了分析，设新出生的一对小兔子，第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔子，共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；依次类推可以列出下表：月数n012345

2、678…兔子对数112358132134…数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…被称为“兔子数列”.书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得，即可以表示为=+.可以联想的是，兔子的繁殖如此，动物的繁殖都有这样的规律吗？换句话问，在什么条件下，就产生“兔子数列”呢？也许我们可以从蜜蜂的繁殖中找到答案.一般动物都有父亲和母亲，但蜜蜂例外，它只有母亲而不一定有父亲.养蜂人都知道，蜂后产的卵，若能受精，则孵化为雌蜂；若不能受精，则孵化为雄蜂.也就是说，雄蜂有母无父，雌蜂有父有母.按照这个追溯上去，一只雄蜂的上一代，再上一代，……各代总蜂数恰好构成了“兔

3、子数列”.1730年法国数学家棣莫弗发现了“兔子数列”的通项公式：，有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却要用无理数来表达.1753年希姆松发现“兔子数列”前后两项之比可展成连分式：1843年另一位法国数学家比内首先证明了通项公式，因此现在称其为比内公式.19世纪法国数学家吕卡首先将这个“兔子数列”命名为斐波那契数列.比内公式有不少证明方法，下面介绍的方法是联想得到的.能否利用关系式=+构造一个我们熟悉的等比数列呢？如果可以的话，等比数列的通项必须含有与，这样后项含有与，才能构成与，的关系式.设{}是公比为的等比数列，即有，比较=+，得=，=1.于是通项=，注

4、意到，所以=.由=1，，所以=，同时可以求得.取，得=，……①取，得=，……②①—②得-，[-].这就证明了.斐波那契数列还有很多奇妙的属性，有兴趣的话，你可以参考沈康身著《历史数学名题赏析》第九章，在那里还给出了证明.例如矩阵等式也是其中一个：.斐波那契数列是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1963年美国还创刊《斐波那契季刊》，用来专门研究斐波那契数列，又发现了与斐波那契数列的很多奇妙的性质.举两个斐波那契数列的例子：例1上楼问题：上楼梯的时候，如果规定一步只能上一级或二级台阶，那么对于楼梯台阶数为n时的上楼方式数是多少呢？解：n=1时，显然只有

5、1种上楼方方式，即=1；n=2时，可以一级一级上，也可以二级一步上，只有2种上楼方方式，即=2；……；上第n+1级时，或是从第n级上了一级，或是从第n-1级上了二级，只有这两种方式，所以=+，显然这是一个斐波那契数列的应用问题.例2座位问题：师生集合坐一排，但老师们坐在一起总会聊些有关学校的无聊话题，因此规定老师彼此不可相邻而坐，若有n张椅子，则有多少种可能的坐法？解：n=1时，显然有2=种坐法：可坐老师(T)或学生(S)；n=2时，可坐SS、TS、ST，共有3=种坐法；n=3时，可坐SSS、SST、STS、TSS、TST，共有5=种坐法；……；若有n张椅子，设有种坐法

6、.可以分为两类，如果最后坐的是学生，前面n-1张椅子的坐法是种，如果最后坐的是老师，则最后两张坐的必定要是ST才符合条件，即最后两张已经固定，相当于有n-2张椅子，种坐法.因此=+，斐波那契数列又再度出现，所不同的是数列少了前面两项1.类似例2的还有子集问题：求集合{1,2,…,10}中所有不包含相邻正整数的子集个数.类比一下，你能求出来的！在小说《达·芬奇密码》中从卢浮宫博物馆馆长被杀场面开始，凶杀在现场留下了如下的神秘数字：“13-3-2-21-1-1-8-5”，就是乱序的斐波那契数列.可见斐波那契数列应用之广泛.更有思考空间的是斐波那契数列居然与“贾宪三角”、“黄

7、金分割”等数学问题也密切相关.将“贾宪三角”如下排列：1①11①121②1331③14641⑤15101051⑧1615201561过第一行的“1”向左下方作45º斜线，之后作直线的平行线，将每条直线所经过的数加起来，即得到1，1，2，3，5，8，……真是“横看成岭侧成峰”，斐波那契数列在其中.将斐波那契数列前一项与后一项求比，可以发现越来越接近黄金分割数0.618….事实上可以求极限,证明这一点：≈0.618.如果你任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8