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1、第5章线性代数的基本运算本章学习的主要目的：1复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识.2学会用MatLab软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算.5.1行列式5.1.1n阶行列式定义由个元素组成的记号D=称为n阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和,各项的符号由n级排列决定,即45D=,其中表示对所有n级排列求和,是排列的逆序数.5.1.2行列式的性质(1)
2、行列式与它的转置行列式相等.(2)互换行列式的两行(列),行列式变号.(3)若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.(4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.(5)若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.(6)若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等于对应两个行列式之和.即(7)若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.45(8)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即,或(9)设A,B是n阶方阵
3、,则,,,(10)若A是n阶可逆矩阵,则,(11)设是n阶方阵A的特征值,则,(12)设是n阶方阵A的伴随矩阵,则(13)几种特殊行列式的计算:,,5.1.3MatLab计算行列式的命令det(var)%计算方阵var的行列式45例1计算行列式的值在MatLab命令窗口输入:A=[1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3]det(A)执行结果:A=1-322-34092-2623-383ans=-50例2计算行列式的值,其中a,b,c,d是参数.在MatLab命令窗口输入:symsabcdA=
4、[a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,d]det(A)执行结果:45A=[a,1,0,0][-1,b,1,0][0,-1,c,1][0,0,-1,d]ans=a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1例3求方程的根.(1)先求行列式的值在MatLab命令窗口输入:symsxA=[1,1,1,1;1,-2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,x^3]y=det(A)执行结果:A=[1,1,1,1][1,-2,2,x][1,4,4,x^2][1,-8,8,x^3]45y=-12*x^3+48
5、*x+12*x^2-48(2)求3次方程的根.首先通过函数的图形确定根的大致范围,在MatLab命令窗口输入:gridonezplot(y)图1观察图1,可知3个根大致在-2,0,4附近,下面求精确值,在MatLab命令窗口输入:yf=char(y);g1=fzero(yf,-2)45g2=fzero(yf,0)g3=fzero(yf,4)执行结果:g1=-2g2=1.0000g3=2.0000可知方程的3个根分别为-2,1,2.5.1.4用MatLab实现克拉默法则(1)克拉默法则非齐次线性方程组方程组当其系数行列式时,
6、此方程组有唯一解,且可表示为其中是把系数行列式45中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即对于齐次线性方程组当其系数行列式时,此方程组有唯一零解;当D=0时,方程组有非零解.(1)编写函数klm.m实现用克拉默法则求解非齐次线性方程组.functionx=klm(a,b)%参数a代表方程组的系数矩阵,列矩阵b代表方程组的常数列,%返回方程组的解[m,n]=size(a);if(m~=n)disp('克拉默法则不适用此方程组的求解!')45elsed=det(a);if(d==0)disp('该方程组没
7、有唯一解!')elsedisp('该方程组有唯一解!')fori=1:me=a;e(:,i)=b;f=det(e);x(i)=f/d;endendend例4用克拉默法则解下列方程组:操作步骤:45在MatLab命令窗口输入:D=[1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11];A=[5;-2;-2;0];klm(D,A)执行结果:该方程组有唯一解!ans=123-1方程组的解为例5问a取何值时,齐次方程组有非零解?根据齐次方程组有非零解,系数行列式为零,用MatLab操作步骤如下:图2在MatL
8、ab命令窗口输入:symsxA=[5-x,2,2;2,6-x,0;2,0,4-x];yy=det(A)ezplot(yy,[0,10])45gridon执行结果:行列式的值为:yy=80-66*x+15*x^2-x^3作函数yy的图形,如图2观察图2,可知根大致在2,5,8附近,再输入命令:yf=cha
