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1、用数形结合的方法来解决中学数学问题【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法,贯穿于数学的各个分支.其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思雄与形象思维相结合,在解题中借数解析形，以形表达数量关系.有些数量关系，借助几何图形的直观描述，可以使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。数形有机的结合，使问题化繁为简，化难为易，化抽象为具体,从而达到简洁、明了的解题效果。提高数形结合的灵活性,有助于思维能力的培养,有利于解题能力的提高.数形结合在中学数学中有广泛的应用,本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。【关
2、键词】数形结合方程问题不等式问题最值问题函数问题复数问题281引言数形结合是一种重要的数学思想.所谓数形结合,就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,一方面借助形的直观性来阐明数量之间的联系,另一方面是借助于数的精确性来阐明形的某些属性.华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.注意这一思想方法的渗透,有利于解题能力的培养,有利于优化思维品质,并能在认知结构中有机地沟通数学各分支的内在联系.在处理某些数学问题时,我们可以从问
3、题的结构特征入手,充分挖掘出问题的几何背景,再利用数形结合的方法建立起几何模型,很多问题便迎刃而解,且解法简捷.避免复杂的计算与推理,这不仅培养了学生的观察力,联想力,综合运用知识的能力.还培养了学生的创新意识与能力.数形结合的方法重点在以形助数,贯穿于整个中学数学,本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。2方程问题 方程是中学数学常见的学习、研究对象，尤其是二次方程，是学习的重点和难点。而方程、不等式、函数又有密切联系，是知识的融汇点，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。2.1方程实根的正负情况用代数方法研
4、究方程根的情况,计算复杂.若用形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了.例1为何值时,二次方程有一个正根，一个负根?解：设二次方程，∴a1.(1)当时，抛物线开口向上，如图方程有一个正根，一个负根故此时,不存在。(2)当时，抛物线开口向下，如图方程有一个正根，一个负根28故综上所述，当时，方程有一个正根，一个负根。例2已知二次方程有一正根和一负根,求的取值范围.解:设二次项系数大于0,函数图象开口向上∴函数与轴的交点落在轴两侧只需.解之得:-或.例3已知二次方程有两个正根,求的取值范围.解:设.依题意二
5、次函数的图象与轴的交点落在轴的正半轴.如下二图所示.所以有或28分别解两个不等式组,求交集得的取值范围是.例4已知方程有两个正根，且一根在(0,1),另一根在(1,2),求的取值范围.解:由已知得:所得不等式组表示平面上一区域,如图.看作点()与(1,2)连线的斜率.连接得最大斜率连接得最小斜率.∴.利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意，提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏。2.2求方程实根的个数有些方程并不需要求出实根,只要求方程的实根个数.这就没有必要按常规方法求解.利用数形结合,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.例5求
6、方程的实根个数。解：此题若直接解方程则较为困难，若利用数形结合，将代数问题转化为几何问题，则较为简单。即求两曲线的交点的个数。做出函数和的图象，从图中可以看出两曲线的交点M只有一个，∴方程只有一个实数解。28例6求方程的解的个数.解:作出函数和的图象.观察图象,两函数图象有3个交点.∴原方程的解有3个.例7试判断方程的解的个数。解：要解出方程是不可能的。但题目只需要知道方程解的个数。若能突破传统的解方程的思想，利用图形来处理，则轻而易举。方程的解的个数实质是与图象的交点的个数。分别作出和时的图象，由图可知两曲线有两个交点。例8当a为何值时,关于的方程无解?有一解?有两解?解
7、:由题意得28即设,,则的图象为过定点(1,0)的直线系,如图所示.直线:为切线,切点为(2,4).由图可知(1)方程(*)无解直线系斜率满足。(2)方程(*)有一解直线系斜率满足,此时符合条件。(3)方程(*)有两解直线系斜率满足.此时交点横坐标均满足的条件。综上所述,当时,原方程无解;当时,原方程有一解;当时,原方程有两解。例9已知方程有四个实根,求的取值范围。解:此方程含绝对值号,并且有四个实根,若以代数方法求解,一时之间难以找到入手点,分类讨论难免繁冗复杂.而画出,的图象后,只须两图象有四个交点即可。即-1
