初等几何定理延伸导论

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1、初等几何变换.度量与计算数学是研究空间形式和数量关系的学科，在初等几何课程里，着两方面的内容特别明显。1关于数学证明直观和推理实物是最好的教具，其次是模型，在其次是图形，但实物很难要有就有，因此，图形在教学上起重要作用。几何图形的直观能化抽象为具体，往往是启发抽象思维的有力工具，但图形无论画的如何准确，也无法替代逻辑思维。所以，尽管直观和实验对我们获得感性认识起重要作用，证明命题还主要靠逻辑推理。2关于命题证明定义，公理，定理，都是命题。命题由两部分组成，第一部分称前提或假设，第二部分称结论。前提不能互相矛盾，否则命题毫无意义。命题不一定是真的，即不一定成立。真命题称为定理。所谓

2、数学证明，实际上是由假设经过推理以得出结论。为了解决证明源头正确与否的困境，古希腊的哲学家把原始的依据称为公设或公理，约定承认其正确，称之为自明之理，欧几里得的第五公设就不是自明的。证命题时，一定要确切理解题意，给了我们什么条件，要我们得出什么结论，并在初学时就要求学会简洁，明白的写出。命题的四种变化（1）原命题：若P则Q,（1）逆命题：若Q则P,（2）否命题：若则，（3）逆否命题：若则，其中，为P,Q的反面。例（1）原命题：平行四边形的两条对角线互相平分。（2）逆命题：若四边形的两条对角线互相平分，那么它是平行四边形。（3）否命题：若四边形不是平行四边形，那么它的两条对角线不互

3、相平分。（4）逆否命题：若四边形的两条对角线不互相平分，那么它不是平行四边形。四种命题的关系，图示如下原命题互逆逆命题互否互否否命题互逆逆否命题四种命题的真假关系：互为逆否的两命题，真则同真，假则同假。3充分条件，必要条件，充要条件一般而言，在定理中，条件P称为性质Q的充分条件，有了P便保证有Q；Q称为P的必要条件，没有Q,P就不成立。如果原命题和逆命题同时成立：P是Q的充分和必要条件，简称充要条件。关于必要和充分的意义，可以概括如下：必要：无它必不行，有它未必行。充分：有它必行，无它未必不行。充要：有它必行，无它必不行。例“对角线互相垂直”是菱形的必要而不充分的条件；“对角线互

4、相垂直平分”是菱形的充要条件。4逆命题证法证明逆命题，常用下列方法之一。（一）直接证明逆命题，即将原命题的证明过程，反其道而行之，举例说明。定理：线段的中垂线上人任一点，距线段两端等远。逆定理凡距两点A,B等远的点必在线段AB的中垂线上。证明：设M为满足MA=MB的任一点，作MOAB,则由于斜线MA与MB等长，斜线足应距垂足O等远，即OA=OB，所以M在AB的中垂线上。（一）证明与逆命题等效的否命题否定理不在中垂线上的任一点，距线段两段不等远。证：设不在线段AB中垂线上的点（上图），比方说，它和B在中垂线的同侧。于是从向直线AB所引的垂线足也和B在中垂线的同侧（否则两垂线将相交，

5、而过此交点将有两直线垂直与AB了）。所以,于是按斜线比较长短定理，。（二）利用原命题本身证明逆命题大家可以自己举个例试一下。5直接证法与间接证法直接证法：由命题的假设出发，根据定义，公里，定理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的结论。间接证法：有的问题，往往不易甚至不能直接证明，这时，不妨证明它的等效命题成立，因而也能间接的达到目的。间接证法也可以分成以下几类：直接证法间接证法同一法反证法归谬法穷举法证题方法间接证法举例例一（归谬法）圆内不是直径的两弦，不能互相平分。假设：AB,CD是圆内非直径的两弦。求证：AB,CD不能互相平分。证：假设结论的反面成立，即设弦AB与CD的中

6、点P既是AB的又是CD的中点。我们知道，弦的中点跟圆心O的连线是垂直于弦的。那么通过P点就有两条直线AB和CD与OP垂直的，这是不可能的，所以定理得到反证。ABCDE12F34567在⊿ABC中，∠B与∠C的平分线分别为BD与CE，且BD=CE．求证：AB=AC．证明假设AB≠AC，不妨设AB>AC．则∠C>∠B，因此∠2>∠1，由此又可得BE>CD，平移BE到DF，则EF=BD=CE，所以∠ECF=∠EFC，但是，DF=BE>CD，所以∠4>∠3,于是∠5<∠6=∠7，从而得∠C=2∠5<2∠7=∠B，这与∠C>∠B矛盾．该定理称作斯坦纳-莱莫斯定理，有60余种

7、证法．同一法——用证明逆命题成立来证明原命题为真的方法．前提是该命题的条件和结论中的对象都满足惟一性，则原命题与某逆命题等价．将任意三角形各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成正三角形．（同一法）证明设⊿ABC的∠A=3α，∠B=3β，∠C=3γ，三等分线交点构成⊿PQR．作正⊿EFG，作∠1=60o+β，∠2=60o+γ，∠3=60o+α．∵α+β+γ=60o，∴∠EA’G=180o－∠1－∠2=α．同理∠EB’F=β，∠FC’G=γ．过E作直线HI，使∠A’