泛函分析在水工结构中的应用

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1、泛函分析在水工结构中的应用姓名：李坤单位：成都水利水电建设有限责任泛函分析在水工结构中的应用【摘要】本文通过泛函理论求解水工中可微方程的极值问题，为水利工程的设计提供了理论基础。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。【关键词】泛函分析水工混凝土优化泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使

2、用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（StefanBanach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（VitoVolterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技术等许多专业领域。1理论依据水工中考虑的极值问题表示为：其中；L为V—R的连续线性泛函。若V

3、是完备的Banach空间，K是V的非空的闭凸子集，为具有连续对称的双线性型,并且在下述意义下V是椭圆的，即存在使得，则极值问题存在唯一解。为具有连续对称的双线性型是指：,下面给出该问题的泛函证明：由于双线性型是对称的，因此它是V上的一内积，又由于是连续且V是椭圆的，因此由内积诱导出来的范数等价于原来的范数：由于V在范数下是完备的，因此V在范数下也是完备的，从而V在内积下是Hilbert空间，由Riesz表示定理，存在Riesz映射ｑ：，使得对，则，且注意到的对称性，可见因此极值即为求V中元素到子集K的最小距离问题，由于K是非空闭的，则有泛函分析

4、的投影定理可以知道该极值问题的解是存在的，再由K是凸的，可知该问题有唯一解。下面就具体问题谈泛函在水利工程中的应用。2混凝土早期水化热温升变分解法混凝土在浇筑后,伴随着其水化硬结过程,其内部会产生水化热,使混凝土的温度逐渐上升,然后散发。混凝土的水化热发生过程集中在早期,最初几天混凝土的温度急剧升高,当达到最高温度后,温度开始下降。由于混凝土内部温度与外界温度相差悬殊,因此会在混凝土表面引起巨大拉应力,并导致开裂。裂缝不仅会影响混凝土的外观,还会影响建筑物的安全性,因此,有必要研究混凝土的温度应力以防止由温度应力引起的开裂。求解温度应力以求解温

5、度场为基础。计算温度场的分布方程有许多方法,下面以混凝土块的一维不稳定温度场导热方程为例,从变分原理出发,运用Ｒｉｔｚ法求解该方程。2．1水化热温升导热方程求解混凝土的水化热发假定混凝土的浇筑温度和气温相同,作为温度计算的基准值。混凝土绝热温升的表达式：θ=θ0(1-ｅ-mτ)式中:θ0———混凝土最终绝热温升,℃;θ———混凝土在龄期时的绝热温升,℃;ｍm———水泥发热速率参数,1/ｄ;ττ———龄期,ｄ。该状况下的一维导热偏微分方程为:边界条件为：由于该方程包含有时间变量τ,所以可用近似的方法来处理。即先固定时间变量τ在某一时刻,在该时刻下

6、对泛函进行变分计算,在求出温度场ｔ后,再考虑时间的变化。根据一维导热偏微分方程及其边界条件和初始条件,可得与方程(4)等价的泛函:求极值：得：用Ｒｉｔｚ法求出了该方程的近似解。变分法是有限元法的基础,一般情况下,通过该方法所得的近似解可以代替工程上难以用解析方法求得的精确解。3静水压力下无铰圆拱稳定的截面优化设计无铰圆拱的截面优化设计，采用泛函极值分析，直接应用瑞利里兹法，可近似计算出相应的临界荷载，为优化设计提出了一个新方法．本文的分析可适用于各种边界约束、各类截面形状和任意荷载分布的圆拱．在相同材料的用量下，截面优化圆拱较等截面圆拱的临界

7、荷载大得多，在工程设计中具有较好的经济性，表明截面优化设计具有较高的理论性和实用性。3．1问题的提出优化问题可用数学积分式表示为：在式中，Π为圆拱的总势能，为u圆拱的轴向位移，w为圆拱的径向位移，而φ为圆拱横截面的转角，φ＝（u＋u″）／w．由式（１）可知，此优化问题为带定积分约束条件的泛函极值问题，应用拉格朗日乘子法，可将条件极值问题方便地化为无条件极值问题．因此，构造一个新泛函为：上式中，λ为拉格朗日乘子．新泛函驻值条件为：代入式中作求导运算，整理可得上式为圆拱截面优化设计的稳定控制方程，再加上相应的边界条件，即成为定解问题。4结论泛函分析

8、渗透到数学内部的各个分支中去，它也强有力地推动着其他分析学科的发展，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，为工程设计提供了理论基础，在工程