非线性半参数回归模型的最大经验似然估计

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1、应用数学MATHEMATICAAPPLICATA2009。22(1)：101～llO*非线性半参数回归模型的最大经验似然估计冯三营，李高荣，薛留根。(1．洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳471022；2．华东师范大学金融与统计学院，上海200241；3．北京工业大学应用数理学院，北京100022)摘要：对于非线性半参数回归模型的估计问题，利用经验似然方法，给出了回归系数，光滑函数以及误差方差的最大经验似然估计．在一定条件下证明了所得估计量的渐近正态性和相舍性．关键词：非线性半参数回归模型；经验似

2、然；渐近正态性；相合性中图分类号：0212．7AMS(2000)主题分类：62G05；62G2O文献标识码：A文章编号：1001—9847(2009)01—0101—101．引言考虑非线性半参数回归’模型Y—g(x，口)+(T)+e，(1．1)其中Y为实值响应变量，(z，丁)是取值于Rq×[O，1]上的可观测随机向量，∈@为×1未知参数向量，声(·)是定义于闭区间[o，1]上的未知光滑函数．g(·，·)是z，的已知可测函数．模型误差e与(z，T)相互独立，且E(￡)一0，Var(e)一<。。．在模

3、型(1．1)中，当g(x，—时，该模型即为部分线性回归模型；当声(T)一0时，该模型即为非线性回归模型；当g(x，卢)一z且(丁)一0时，该模型即为线性回归模型．对于部分线性回归模型，即当g(x，卢)一z卢时，已经有了很深入的结果，详细的讨论可参．考H~irdle等[1]的著作．当g(x，卢)是X，的非线性函数时，Zhu与weiI2]在(z，丁)为非随机设计点列的情形下得到了参数的渐近有效估计．朱仲义与韦博成[3利用微分几何的方法对模型(1．1)进行了研究，得到了参数的极大似然估计及其渐近牲质．薛

4、留根[4考虑在协变量z带有测量误差的情形下，利用核实数据构造了未知参数的置信域．经验似然方法是Owen[5]在完全样本下提出的一种非参数统计方法，Qin等m把这一方法引入半参数模型．所获得的参数的最大经验似然估计和分布的估计都是渐近有效的．此后，又有许多学者把这一方法应用到各种领域[8]．本文在g(x，)是z，的非线性函数，且(z，丁)为随机设计的情形下，利用经验似然方法构造模型(1．1)中参数分量，非参数分量以及误差方*收稿日期：2008—03—24基金项目：国家自然科学基金资助项目(10571

5、008)。中国博士后科学基金资助项目(20080430633)，上海市博士后科研资助计划(08R214121)，河南省自然科学研究项目(2OO8Bl10oO9)作者简介：冯三营，男．汉，河南人，讲师，研究方向：非参数统计．1O2应用数学2009差的最大经验似然估计，在一定条件下分别证明了它们的渐近正态性和相合性．2．方法与主要结果假设数据{(．z一(zn，⋯，z)，T，Y))。是来自模型(1．1)的一组独立同分布的可观测随机样本，即Y—g(x。，)+(T)+￡f，(2．1)其中￡是相互独立的模型误

6、差，且E(￡)一0，Var(e)一<。。，i一1，2，⋯，．首先假设已知，则(2．1)式可以看作一个非参数回归模型Y—g(xf，卢)一(Ti)+e，1≤i≤n．(2．2)由()一E(y一g(x，卢)IT一￡)，所以{6(T)可以由Y一g(x，和丁使用下列方法进行估计：如核估计法，局部多项式估计法，近邻估计法，光滑样条估计法，B样条估计法和小波估计等非参数方法．FanE提出的局部多项式光滑方法具有良好的性质．如它可以减少Nada·raya—Watson估计的偏差和Gasser—Mfiller估计的方

7、差；此外局部多项式光滑方法还能适应边界效应．因此我们使用局部线性光滑方法来构造(·)的估计量．如果在t的一个小邻域内，则可以用一个线性函数局部地逼近回归函数≯(Ti)，即(T)≈()+()(T～)三a+6(T一￡)．首先假定口已知，求a和b，可以通过极小化下面的加权局部最d~--"乘问题∑{—g(x，J9)一口一6(—f))K(r，I一)，其中K(·)一K(·／h)／hK．(·)是一个核函数，h是一串收敛于0的常数列，称之为窗宽．记d和6是上述加权局部最小二乘问题的解，简单计算得霞一∑∞()(一g

8、(x，))／∑()，其中∞(￡)一K(一￡)Es(￡)一(T一)S(f)]，S．a㈤一÷∑K(T一丁一，O'1，2．用(￡)记声(T)的“伪估计”，即f)垒声(￡，卢)：∑W(￡)(～g(x，卢))，0≤t≤1，(2．3)其中w，(￡)一∞(￡)／∑(￡)．J：1记=Y一∑W(T)，(z，)一g(x，卢)一∑W，(丁i)g(，)．现在我们引入一个辅助随机变量[Yl-g((T一8)3，(2．4)当是真实参数时，E(Z(卢))一0．假设”，户是一列非负数，其和为1，则定义经验对数似然比