解题小品—出奇制胜

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1、2015年第4期9解题小品——出奇制胜陶平生(江西科技师范大学数学与计算机学院，330013)中图分类号：0157文献标识码：A文章编号：1005—6416(2015)04—0009—04“出奇制胜”源自田单使用“火牛阵”破形的“特征值”．敌的故事，即兵法中出奇兵或出奇招而制胜．显然，对于图1中任一个小三角形，只有今用于数学解题方法，除了遵循“使用三种情形：奇法妙招”之原意外，有时也可将“出奇制若一个三角形三顶点只用到同一个字母胜”“无独有偶”这样的成语引申为“利用奇标记，则其特征值为0；偶性解决问题”，通常用于论证存在性问题若一个三角形三顶点恰用两个字母标或有关定性之类

2、的问题．记，则其特征值为2；众所周知，奇数不等于0，若确定了符合若一个三角形三顶点用三个字母标记，某类条件的对象有奇数个，那就是“存在”．则其特征值为3．例l以任意方式，将△ABC剖分成若A干个小三角形，其中任意两个小三角形要么没有公共点，要么只有一个公共点，要么只有一条公共边(而不是边的一部分)，所有三角形的顶点均用字母A、、C按如下方法进行标记：位于原三角形边上的每一顶点，用这边原来两端点之一任意标记；位于三角形内部BB乙C的每一顶点，则随意用、B、C标记．证明：图1(1)存在一个小三角形，三顶点所标字注意到，唯有满足条件的小三角形，其特母恰为A、B、C；征值才为奇数

3、．(2)存在一个小三角形，不仅三顶点所用S表示所有小三角形的特征值之和，标字母为A、曰、c，并且其绕向与原先的大三只需证明．s为奇数．角形绕向相同．因为每条内部线段均为两个小三角形的证明(1)采用赋值法．公共边界，所以，每条内部线段的赋值被计入对任一线段，若其两端的字母相同，则将其两侧的小三角形的特征值之中，即这种赋此线段赋值为0；若两端的字母不同，则将此值被计算了两次．而位于原三角形周界上的线段赋值为1．每条小线段，只属于一个小三角形，其赋值只将三角形三条边的赋值之和称为该三角被计算了一次．收稿日期：2014—09—18为了确定周界上小线段的赋值之和的奇10中等数学偶性

4、，只需注意，若一条线段XY被一组点所数字0．分割，其每个分点仍用字母、l，标记，若按这样赋值之后，只有五种不同情形的三以上方法对每条小线段赋值，则赋值之和为角形，如图4所示(X

5、和为2n—l，即为将位于形内的三个数字之和称为三角形奇数．的“内特征”．因为原△ABC每条边上的小线段的赋易知，前三种情形的三角形，三顶点只含值之和皆为奇数，所以，周界上的小线段赋值一个或两个字母，其内特征皆为0，而后两种总和也为奇数．三角形均含有三个不同字母，但图4(丁)中若用m表示原△ABC的内部小线段赋的三角形三顶点、l，、Z自／J,N大按逆时针值之和，n表示原△ABC的周界上小线段赋方向，其内特征为1，而图4(戊)中的三角形值之和，则m为奇数，且S=m+2n(奇数)．三顶点、y、z自小到大按顺时针方向，其内于是，其中必有奇数个小三角形，三顶点所标特征为一1．如此，

6、将所关注的三角形给区分字母恰为A、曰、C．从而，至少存在一个小三角开了．形，三顶点所标字母恰为、、G回到本题．(2)就本质而言，(2)的结果涵盖了(1)，用S表示△ABC剖分成的所有小三角但是为了推介不同的方法，这里对此重新作形的内特征之和，并将其返回到线段的赋值出处理．来计算．(1)与(2)的不同之处在于，前者是“无由所设知A

7、另一种赋值方法．的内特征之和S>0．将字母、B、C看成三个实数，且A