常微分方程第三版课后答案

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1、常微分方程习题2.2求下列方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=ce-()是原方程的解。2．+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e(ee)=e(e+c)=ce+e是原方程的解。3．=-s+解：s=e(e)=e()=e()=是原方程的解。4．，n为常数.解：原方程可化为：是原方程的解.5．+=解：原方程可化为：=-()=是原方程的解.252513这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令25P(x)=Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。两边同除以令P（x

2、）=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==15这是n=3时的伯努利方程。两边同除以令=P(y)=-2yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式==2516y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=1y=习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.解：，=1.则所以此方程是恰当方程。凑微分，得：2．解：，.则.所以此方程为恰当方程。凑微分，得3．解：则.因此此方程是恰当方程。25（1）（2）对（1）做的积分，则=（3）对（3）做的积分，则==则故此方程的通解为4、解：，..则此方程为恰当方程。凑微分，

3、得：5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0解：M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin25=-sin-cos-cos+sin所以，=，故原方程为恰当方程因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x-)=0故所求的解为sin-cos+x-=C求下列方程的解：6．2x(y-1)dx+dy=0解：=2x,=2x所以，=，故原方程为恰当方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d

4、(y-x)=0故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，de(x-2x+2)+d(xy)=0即d[e(x-2x+2)+xy]=0故方程的解为e(x-2x+2)+xy=C8.2xydx+(x+1)dy=0解：2xydx+xdy+dy=0d(xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解为xy+y=C9、解：两边同除以得即，25故方程的通解为10、解：方程可化为：即，故方程的通解为：即：同时，y=0也是方程的解。11、解：方程可化为：即

5、：故方程的通解为：12、解：方程可化为：故方程的通解为：即：13、解：这里，方程有积分因子两边乘以得：方程是恰当方程故方程的通解为：即：14、解：这里25因为故方程的通解为：即：15、解：这里方程有积分因子：两边乘以得：方程为恰当方程故通解为：即：16、解：两边同乘以得：故方程的通解为：习题2.52．解：两边同除以，得：即4．解：两边同除以，得令则即25得到，即另外也是方程的解。6．解：得到即另外也是方程的解。8.解：令则：即得到故即另外也是方程的解。10．解：令即而故两边积分得到因此原方程的解为，。12.解：令则即故方程的

6、解为14．解：令则那么求得：故方程的解为25或可写为16．解：令则即方程的解为18．解：将方程变形后得同除以得：令则即原方程的解为19.X(解：方程可化为2y(令2527.解：令，，则，，，两边积分得即为方程的通解。另外，，即也是方程的解。28.解：两边同除以，方程可化为：令，则即，两边积分得即为方程的解。29.解：令，则，，那么即两边积分得即为方程的解。30.解：方程可化为两边积分得25即为方程的解。31.解：方程可化为两边同除以，得即令，，则即两边积分得.将代入得，即故32.解：方程可化为两边同加上，得（*）再由，可知（

7、**）将（*）/（**）得即整理得两边积分得即另外，也是方程的解。33.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：，又，由此即其中，解之得又时，；时，。故得25，从而方程可化为当时，有米/秒即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速习题4.11.设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。证明：假设在，在区间上线形相关则存在不全为零的常数，，使得那么不妨设不为零，则有显然为常数

8、，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关2.证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程（1）（2）的解，则+是方程+的解。证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解则：（3）（4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。251.试验证0的基本解组为，并求方程的通解。证明：