毕业论文--柯西-许瓦兹不等式的推广与应用

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1、中图分类号：O122.3本科生毕业论文（申请学士学位）论文题目柯西-许瓦兹不等式的推广与应用作者姓名所学专业名称数学与应用数学指导教师2010年4月30日-29-学号：论文答辩日期：2010年6月5日指导教师：（签字）-29-滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：2010年5月30日-29-柯西-许

2、瓦兹不等式的推广与应用摘要：柯西-许瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用，如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西-许瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式，同时也有着许多的变形及推广。本文总结了柯西-许瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明，并给出了它的一些推广和应用。关键词：柯西-许瓦兹不等式；实数域；欧氏空间；概率空间TheGeneralizationandDistortionofCauchy-SchwarzInequalityAbstrac

3、t:Cauchy-Schwarzinequalityhaswildapplicationsinmanyareassuchasmotionvectorinlinearalgebra,theinfiniteseriesinmathematicalanalysis,theintegralproductoffunction,varianceandcovarianceinprobabilitytheoryetc.Itisusedinthedifferentspaceswithdifferentforms,andhasaloto

4、fdistortionsandgeneralization.  ThispapersummarizestheformanditsproofofCauchy-Schwarzinequalityintherealfields,calculus,Euclideanspace,probabilityspace,andgivesitsgeneralizationandapplication.Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;Realnumberfield;Euclideanspace;Prob

5、abilityspace1、柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用1.1柯西-许瓦兹不等式在实数域中的定义定义:设,则有（1.1）-29-其中当且仅当(为常数)等号成立。柯西-许瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用，现在我们通过它的三种证明方法，来加深对其的理解。证法一：我们利用一元二次函数的知识来证明证明：设，则由于,因此上述不等式的判别式，则即证法二：利用一元二次不等式的知识来证明证明：平方和绝不可能是负数，故对每一个实数都有其中，等号当且仅当每一项都等于0时成立，该不等式可以变形为，其中，如果,不等式显然成立如

6、果，因为恒成立，所以成立即等号当且仅当(为常数)成立。证法三：利用向量的知识来证明证明：设是两个维向量，则由于因此，即当时等号成立，-29-即或时，也即与共线时等号成立.1.2柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广推论1.柯西-许瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广在（1.1式）中，令，则（1.2）（1.3）令则（1.4）（1.1）（1.5）（1.1）（1.6）推论2.将柯西-许瓦兹不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.赫尔德不等式：对任意的非负数有其中满足且（1.7）证明：利用不等式其中为非负数且得-29-赫尔德不等

7、式中，当时为柯西-许瓦兹不等式。推论3.若将则可导出相应的无穷不等式设数项级数与收敛，则也收敛，且（1.8）推论4.设为组正实数，则有证明：令其中由平均值不等式得对之作和得所以有：-29-1.3柯西-许瓦兹不等式在实数域中的应用例1-1．设，求证：证明：不等式左边等于所以得证.例1-2．若都是正数，又（常数），求证：.证明：根据柯西-许瓦兹不等式（1.1）式可得于是得：例1-3设，若则；解：应用（1.1）式，-29-例1-4．证明中任意三点满足三角不等式证明：设若式成立，则有：则而于是：即：由（1.1）式知上式成立，

8、所以可得例1-5.设，则有当且仅当时等号成立.证明：由（1.1）式可得，则：-29-所以例1-6．已知且不等式恒成立，求的取值范围。解：故参数的取值范围是2、柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广与应用2.1柯西-许瓦兹不等式在微积分中的定义定义：设,在上可积，则（2.1），或与成正比，则等号成立.证明：因为,都在上可积，则由定积分的性质均在上可积