初中数学建模类型浅析

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1、初中数学建模类型浅析　　　　　　　　　　　江苏省邳州市陆井中学　　　　　　　　　　　　　　　　　　袁银宗　　解决简单的实际问题是大纲规定的教学目的之一，数学建模就是将具有实际意义的应用题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决．选取若干范例，对其建模类型略陈管见，供参考．　　一、建立几何模型诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及一定图形的性质常需建立几何模型，转化为几何问题求解．　　例1　如图1，足球赛中，一球员带球沿直线l逼近球门AB，

2、他应在什么地方起脚射门最为有利？　　分析　这是几何定位问题，根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P．使∠APB最大．为此，过AB两点作圆与直线l相切，切点P即为所求．当直线l垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利．可见“临门一脚”的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置。　　二、建立三角模型对测高、测距、航海，燕尾槽、拦水坝、人字架的计算等应用问题，则可建立三角模型，转化为解三角形问题．例2海中有一小岛A，它周围8海里

3、内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？　　简析　根据题意作出如图2的示意图，继续航行能否触礁，就是比较AC与8的大小。问题转化为解直角三角形，求AC的长。　　AC　　对这类问题中涉及到的测量专用名词的含义及测量仪器的使用，教学中应予以重视。　　三、建立方程模型对现实生活中广泛存在的等量关系，如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题，则可列出方程转化

4、为方程求解问题．　　例3　某家俱的标价为132元，若降价为9折出售即优惠10％)，仍可获利10％(相对于进资价)。求该家俱的进货价。　　简析　设该家惧的进货价为x元．则问题转化为求方程　　例4　如图3(1)，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直)．把耕地分成大小相等的六块作实验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？(1997年安徽省中考题)　　简析　如图3(2)．作整体思考，设道路的宽为xm，则问题转化为求方程(20－x)(32－

5、2x)＝570的解，解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)。　上述三种建模类型是初中教材中涉及最多的，也是学生感知最为丰富的现实原型。　　四、建立直角坐标系模型当变量的变化具有(近似)函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题求解。　　例5　在如图4所示的自动喷灌设备中，喷出的水流呈现抛物线状．设水管AB高出地面1．5米．水流最高点C比喷头B高2米，且与B点连线夹角与水平面成45°，求水流落地点到A点的距离。　　简析　因水流路线是抛物线，可建立如图4所

6、示的平面直角坐标系，问题转化为求抛物线与x轴交点的横坐标．由已知条件可求得抛物　　　　对于飞机投物、打炮射击、投篮、平抛等问题，其物体运动的轨迹都是抛物线，往往可转化为二次函数图象问题去解决．当变量之间具有线性关系时，则可转化为直线或平面区域问题去解决．五、建立目标函数模型对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数，转化为函数极值问题．　　例6　某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货

7、量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润．　　简析　设每件售价提高x元，则每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润y＝(2＋x)(200－20x)＝－20(x－4)2＋720．故当x＝4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润720元．　　函数关系是普遍存在的，所呈现的函数关系也并非都是二次的．因此建立目标函数模型的应用十分广泛。　　六、建立不等式模型　在市场经营、生产决策和社会生活中，如

8、估计生产数量，核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等式(组)的求解或目标函数在闭区间的最值问题。　　例7　某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其它总开支是50000元．如果该工厂计划每月至少要获得200000元利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的生产量应是多少？　　简析　设每月生产x件产品，则总收入为80x，直接生产成本为60x，每月利润为80x－60x－50000＝20x－50000．