高二数学抛物线及其标准方程

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1、课题：抛物线及其标准方程（二）教学目的：1．能够熟练的运用抛物线的方程解决一些问题2.能够将到焦点的问题与到准线的问题进行互相转化，提高学生的转化能力3．使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平.教学重点：抛物线的定义及方程的运用教学难点：到焦点的距离与到准线距离的转化授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：1.抛物线定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.2．推导抛物线的标准方程：如图所示，

2、建立直角坐标系系，设,那么焦点的坐标为，准线的方程为，设抛物线上的点，则有.化简方程得.方程叫做抛物线的标准方程.（1）它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上，焦点坐标是，它的准线方程是.（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下.3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出，则抛物线的标准方程如下：(1),焦点:，准线：.(2),焦点:，准线：.(3),焦点:，准线：.(4),焦点:，准

3、线：.课前预习:1．说出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.（1）（2）（3）（4）2．根据下列条件写出抛物线的标准方程.（1）焦点是.（2）准线方程是.（3）焦点到准线的距离是4，焦点在轴上.讲授新课:一）标准方程的再认识例1、分别求满足下列条件的抛物线标准方程：1）过点2）焦点在直线上.1）分析：因为抛物线的标准方程只含有一个待定系数，所以只需要一个独立的条件即可求出标准方程，而标准方程有四种形式，所以要根据条件选设方程形式解：因为点在第四象限，所以抛物线可能开口向右或向下故设方程为或将点代入得方程为：或2）因为焦点在直线上

4、，而且是标准方程，所以焦点也应该在坐标轴上，而直线与坐标轴有两个交点，这两个焦点都可能是焦点解：由题意知直线与坐标轴交于和若抛物线以为焦点，则方程为抛物线以为焦点，则方程为二）定义的拓展例2、1）抛物线上一点到焦点的距离为3，则这个点的坐标是变题一）抛物线上一点的横坐标是4，则这个点到焦点的距离为变题二）抛物线上有一点到准线的距离为6，则变题三）抛物线上一点到焦点的距离为6，则抛物线的标准方程为分析：由定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，后者可以用这个点的横坐标或纵坐标单独的表示出来，所以应该围绕这个特点来

5、解决问题解：1）由题意可知抛物线的准线方程为，因为这个点到焦点的距离为3，所以它到准线的距离也是3，从而它的横坐标为2，将它带入方程得坐标为变题一）答案：5变题二）变题三）由已知得：整理得：，若，或若方程为，则它的准线为由定义知：到准线的距离是14，矛盾，所以方程应为：2）过抛物线的焦点作直线交抛物线与，若，则分析：由图可知：直线经过焦点，所以线段可以分为两段之和，即、，而这两条线段都是抛物线上的点到焦点的距离，它们分别等于对应的点到准线的距离即：、，从而解：（略）反思：若此题给的是直线方程和抛物线的方程应如何处理？变题：过

6、抛物线的焦点且斜率为2的直线交抛物线与两点，则解：因为焦点坐标为，所以直线方程为由消去得：所以，例3、设抛物线的焦点为，定点，抛物线上点使最小，求的坐标并求出最小值.分析：求两条线段和的最小值，即寻找三点共线的情形，显然本题中、、共线时不存在这样的结果，从而转化为到准线的距离重新寻找三点共线的情景，解：作准线于，则，即求的最小值，故当、、三点共线时最小，也就是，此时的坐标是，最小值是课后练习：1.抛物线上一点的纵坐标为4，则它到焦点的距离是5.2.过抛物线的焦点作直线交抛物线与，若的倾斜角，则5.解：焦点为，直线方程为：由得

7、：，3.若抛物线上的点到焦点的距离是10，则到直线的距离.解：因为抛物线上的点到焦点的距离是10，且准线为，所以到直线的距离为到准线的距离再加上两直线之间的距离到直线的距离.为124.抛物线的上一点到焦点的距离是5，求抛物线的标准方程解：因为焦点在轴上，由点的特点可设方程为，则准线方程为：，故有，方程为：