第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面

第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面

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时间:2018-04-27

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1、第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面§4.1柱面1、已知柱面的准线为:且(1)母线平行于轴;(2)母线平行于直线,试求这些柱面的方程。解:(1)从方程,中消去,得到:,即:,此即为要求的柱面方程。(2)取准线上一点,过且平行于直线的直线方程为:,而在准线上,所以,上式中消去后得到:,此即为要求的柱面方程。2、设柱面的准线为,母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。解:由题意知:母线平行于向量,任取准线上一点,过的母线方程为:而在准线上,所以:,消去,得到:,此即为所求的方程。3、求过三条平行直线的圆柱面方程。解:过原点且垂直于已知三直线的平面为:它与已知直线的交点为19,这三点所定的在平面

2、上的圆的圆心为,圆的方程为:,此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点,且方向为的直线方程为:,将此式代入准线方程,并消去得到:此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为,母线的方向平行于向量,试证明柱面的向量式参数方程与坐标式参数方程分别为:与式中的为参数。证明:对柱面上任一点,过的母线与准线交于点,则,,即,亦即,。此即为柱面的向量式参数方程。又若将上述方程用分量表达,即:,此即为柱面的坐标式参数方程。§4.2锥面1、求顶点在原点,准线为的锥面方程。解:设为锥面上任一点,过与的直线为:设其与准线交于,即存在,使,将它们代入准线方程,并消去参数,得:,即:。19此为所要求的锥面方程

3、。2、已知锥面的顶点为,准线为,试求它的方程。解:设为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为:令它与准线交于,即存在,使,将它们代入准线方程,并消去得:。此为要求的锥面方程。3、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解:(这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面,其余类推),圆锥的轴与等角,故的方向数为,与垂直的平面之一令为,平面在所求的锥面的交线为一圆,该圆上已知三点,该圆的圆心为,故该圆的方程为:,它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点,过与顶点的母线为:。令它与准线的交点为,即存在,使,将它们代入准线方程,并消去得:,此即为要求的圆锥面的方程。4、求顶点为,轴与平面垂直,且经过点的圆锥面的方程。解:

4、轴线的方程为:,过点且垂直于轴的平面为:,即:,该平面与轴的交点为,它与的距离为:.要求圆锥面的准线为:对锥面上任一点19,过该点与顶点的母线为:.令它与准线的交点为,即存在,使,将它们代入准线方程,并消去得:5、已知锥面的准线为,顶点决定的径矢为,试证明锥面的向量式参数方程与坐标式参数方程分别为:与,式中,为参数。证明:对锥面上任一点,令,它与顶点的连线交准线于,即。,且(顶点不在准线上),即,亦即,此为锥面的向量式参数方程。若将向量式参数方程用分量表示,即:,此为锥面的坐标式参数方程,为参数。§4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程:(1);绕旋转(2);绕旋转(3)绕轴旋转;(4)

5、空间曲线绕轴旋转。解:(1)设是母线上任一点,过的纬圆为:19又在母线上。,从(1)——(3)消去,得到:,此为所求的旋转面方程。(2)对母线上任一点,过的纬圆为:因在母线上,(3)从(1)——(3)消去,得到:,此为所求的旋转面的方程。(3)对母线上任一点,过该点的纬圆为:又在母线上,所以:(3)从(1)—(3)消去,得到:,此为所求的旋转面方程。(4)对母线上任一点,过的纬圆为:又在母线上,所以从(1)——(3)消去,得到:,即旋转面的方程为:2、将直线绕轴旋转,求这旋转面的方程,并就可能的值讨论这是什么曲面?解:先求旋转面的方程式:任取母线上一点,过的纬圆为:19又(3)从(1)—

6、—(3)消去,得到:,此即为所求旋转面的方程。当时,旋转面为圆柱面(以轴为轴);当时,旋转面为圆锥面(以轴为轴,顶点在原点);当时,旋转面变为轴;当时,旋转面为单叶旋转双曲面。3、已知曲线的参数方程为,将曲线绕轴旋转,求旋转曲面的参数方程。解:如图,设为上任一点,则对经过的纬圆上任一点,令在面上的射影为令,则,而而此即为旋转面的向量式参数方程,为参数。其坐标式参数方程为:§4.4椭圆面1、做出平面与椭球面的交线的图形。19解:平面与椭球面的交线为:,即——椭圆图形为:2、设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半,试求此动点的轨迹。解:设动点,要求的轨迹为,则即:,此即为的方程。3、由

7、椭球面的中心(即原点),沿某一定方向到曲面上的一点的距离为,设定方向的方向余弦分别为,试证:证明:沿定方向到曲面上一点,该点的坐标为该点在曲面上,,即.4、由椭球面的中心,引三条两两相互垂直的射线,分别交曲面,设,试证:19证明:利用上题结果,有其中是的方向余弦。若将所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴,则是坐标向量关于新坐标系的方向余弦,从而,同理,,所以,即:5、一直线分别交坐标面于三点,当直线变动时,直线上的三定点也分别在三个

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