数形结合思想在解题中的应用

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1、共19页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第19页数形结合思想在解题中的应用陈勇河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2009级2班摘要：数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何直观,使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数与形是中学数学研究的两类基本对象,既相

2、互独立,又互相渗透。尤其在坐标系[1]建立以后数与形的结合更加紧密,而且在数学应用中若就数而论缺乏直观性,若就形论缺乏严密性,当二者结合往往可优势互补,收到事半功倍的效果。本文试从函数图像和几何图形两个方面,举例说明“以形助数”在解决数学问题中的一些妙用。关键词：数学思想；数形结合；以形助数；以数辅形§1引言1.1数形结合思想的背景早在数学萌芽时期,人们在度量长度、面积和体积的过程中,就把数和形联系起来了。我国宋元时期,系统地引进了几何问题代数化的方法,用代数式描述某些几何特征,把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶,法国

3、数学家笛卡儿以坐标为桥梁,在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系,用代数方法研究几何问题,从而创立了解析几何学。后来,几何学中许多长期不能解决的问题,例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题,最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中,几何问题的代数化也是一条重要的方法原则,有着广泛的应用。初等数学历来被划分为代数和几何两大分支,前者偏重于数的分析,而后者则偏重于形的研究。但是今天人们越来越认识到：仅有代数的思想而无图形的直观,或者虽然有直观的图形而缺少数据的分析,许多数学问题都难以高质有效的解决。形是数的翅膀,

4、数是形的灵魂[2]。1.2数形结合思想的作用和意义在现实世界中,形与数是不可分离的结合在一起的,这是直观与抽象的集合,感知与思维相结合的体现。形与数相结合不仅是数学自身发展的需要,也是加深对数学知识理解,发展智力,培养能力的需要。数形结合是解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中极为重要的基本方法之一[3]指导教师：赵勇学生：陈勇共19页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第19页。通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,缩短思维链,简化思维过程。数形结合中的数应广义的理解为解析式,函数,复数等；其中形

5、可以是点集空间图形,进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力,使应用范围不断拓宽和深化。由此可见,数形结合对发展学生由抽象到直观,再由直观到抽象的思维是多么的重要。数形结合思想偏重于将某些抽象的数学问题直观化,生动化,能够变抽象思维为形象思维,这样就有助于把握数学问题的本质；使用数形结合的方法很多问题便迎刃而解且解法简洁,运用数形结合思想不仅容易直观的发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,很大程度上简化解题过程,这在解选择题填空题时更显其优越。“数”与“形”是数学的基本研究对象,他们之间存在着对立辩证统一的关系。数形结合是一种重要的数学思想,是

6、人们认识、理解、掌握数学的意识,它是我们解题的重要手段,是根据代数与图形之间的关系,认识研究对象的数学特征,寻求解决问题的方法的一种数学思想。它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的,它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法,解决数学问题能起到促进和深化的作用[4]。美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题。”只有对数学思想、数学方法理解透彻并达到融会贯通时,才能提出新看法、巧解法[5]。中、高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题,形成一

7、种内在能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。而数形结合思想又显得格外重要和实用。数形结合思想在实际应用[6]中显得十分重要和广泛,数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何,可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和

8、“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。”数形结合的关键是代数问题与几何图