高等代数试题与答案

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1、高等代数试题与答案一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.令Q＋是正有理数集，若规定，则()．(A)Å是代数运算且满足结合律(B)Å是代数运算，但不满足结合律(C)Å不是Q＋上的代数运算(D)(A),(B),(C)都不对2.域F有无穷多个元素，域F上的多项式，则()(A)f(x)在域F上至少有一个根(B)f(x)在域F上最多有n个根(C)f(x)在域F上没有根(D)f(x)在域F上恰有n个根3.虚数是有理数域上的()．(A)代数元(B)超越元(C)可逆元(D)既约元4.若Dn表示n个数码的扰乱排列总数，则Dn＝()．(A)Dn－1+Dn－2(B)nDn－1(C)(n－1)(D

2、n－1+Dn－2)(D)n(Dn－1+Dn－2)5.整系数多项式的有理数根，(p,q)=1，则()．(A)p½an，q½an(B)p½a0，q½a0(C)p½an，q½a0(D)p½a0，q½an二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.自然数a与b的加法定义所满足的两个条件是．7.函数f(x)是上凸函数的定义为．8.整环R中的元素p是R中的不可约元素，则p¹q，p不是可逆元，由p=a×bÞ9.由5个元素取7个的可重复组合数是．10.整数环Z上的多项式为本原多项式，则(an,an－1,…,a1,a0)＝．三、简述题(每小题7分，共14分)11.试给出一个从整数集Z到自然数集N的的单

3、映射，但不是满映射．12.试给出一个从整数集Z到自然数集N的的双射．三、计算题(每小题10，本题共40分)13.设x，y，z是正实数，且xyz=10，求2x+3y+4z的极小值．14.求(x+y+z)6展开合并同类项后共有多少项，并指出项x2y3z的系数．15.求从1到2000的自然数中能被5或7或11整除的自然数个数．16.从n个数码1,2,…,n中取k()个数码，但不允许取两个连续数码(如1，2不能连续取)，求共有多少种取法．四、证明题(每小题10分，本题共20分)17.设Z}，证明集合R对于普通数的加法和乘法构成一个整环．18.利用反归纳法证明：n个正数的算术平均值大于等于这

4、n个正数的几何平均值，即R)模拟练习之二4一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.整环中元素c是不可约元素，则()．(A)c¹q，c¹可逆元素(B)c¹q，c¹可逆元素，c½abÞc½a或c½b(C)c¹q，c¹可逆元素，c½a×bÞa可逆或½b可逆(D)c=q且c是可逆元素2.函数f(x)=½n½+1是整数集合Z到自然数集合N的()(A)单映射(B)满映射(C)双射(D)恒等映射3.p是有理数域上的()．(A)超越元(B)代数元(C)可逆元(D)不可约元4.设q1，q2，q3是区间[0，p]上的三个数，则()．(A)(B)(C)(D)5.设d(x)是f(x)和f¢(x)的公

5、因式，则()．(A)d(x)是f(x)的二重因式(B)d(x)是f(x)单因式(C)d(x)是f(x)的三重因式(D)d(x)是f(x)k重因式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.自然数加法定义为．7.若d是a和b的最大公因式，则d应满足的两个条件为．8.掷两颗骰子一共有多少种不同情况．9.n个数码1，2，…,n的扰乱排列总数是．10.反归纳定理为．三、简述题(每小题7分，共14分)11.空集合的幂集是空集合码？应该是什么？12.在模12的剩余类环Z12中．哪些元素是可逆元素．三、计算题(每小题10，本题共40分)13.求在剩余类环Z12中的根．14.求(x+y+z＋t)10

6、展开合并同类项后共有多少项，并指出项x5y2z3的系数．15.上11个台阶，如果每次只能走一阶或二阶，问有多少种不同走法．16.设Z}，求出R中所有可逆元素和不可约元素．四、证明题(每小题10分，本题共20分)17.证明在整环R中任意两个元素都有最大公因式．且对R中的三个元素a，b，c，若(a,b)～1，(a,c)～1，则(a,bc)～1．18.如果域F含有无限个元素，求证F[x]上两个多项式f(x)和g(x)相等，从代数的观点和函数的观点是一致的．模拟练习之一解答一、单项选择题1.B2.B3.A4.C5.C二、填空题6.a+1=a¢；a+b¢=(a+b)¢7.q1+q2=1,q1

7、³0，q2³0，f(q1x1+q2x2)³q1f(x1)+q2f(x2)8.a为可逆元或b为可逆元9.10.14三、简述题11.如(nÎN)，(不惟一)12.如(nÎN)，(不惟一)四、计算题13.因为x，y，z>0，所以所以2x+3y+4z的极小值是．14.共有；x2y3z系数为．15.设A＝{能被5整除的自然数}，B＝{能被7整除的自然数}C＝{能被11整除的自然数}．则，，．所以，－＋＝400＋285＋181－57－27－36＋5＝75116.用f(n,k)该数