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《浅谈求多重函数极限的方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、浅谈一类求多重积分极限的方法郭军霞指导老师:马蕾（河西学院数学与应用数学专业2007届3班10号，甘肃张掖734000）摘要：文献[1]和文献[2]举例说明了运用概率思想求多重积分极限方面的应用,本文综合应用依概率收敛和控制收敛定理等知识,推广文献[2]的定理,给出一类求解多重积分极限的一般性结论,并加以证明.关键词：多重积分极限；依概率收敛；控制收敛定理中图分类号：O211.9ShowingamultipleintegrallimitTeacher:MaLeiGuoJunXiaguidance
2、(10,Class1of2007.SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,DepartmentofMathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000,China)Abstract:[1]and[2]isillustratedusingprobabilityideasformultipleintegrallimitapplications,thispapersyntheticallyappliedproba
3、bilityconvergenceandconvergencetheorem,etc.,promotion[2]isakindoftheorem,solvingthegeneralconclusionmultipleintegrallimit,andproveit.Keywords:multipleintegrallimit,theconvergenceinprobability,controlconvergencetheorem1引言：多重积分极限在科学研究中有着广泛的应用,但在解决这些问题时
4、很难准确求出其计算结果,大多数重积分只能通过数值计算取近似值,如果重数充分大时,我们可以用多重积分的极限来近似代替.同时概率思想广泛运用于其他学科,利用概率思想可以证明一些组合等式和不等式,也可以求多重积分极限等,本文将运用概率思想来进一步探讨多重积分的求解方法.文献[1]和文献[2]主要运用概率方法解决了如下一类多重积分的极限（1）(其中且).（2）具体证明过程如下:对于（1）:证明做变换则于是.考虑独立同分布随机变量序列且令.因是上的连续函数,由引理1,得..从而序列依概率收敛,且.又当时，
5、,则.由勒贝格定理和控制收敛定理,得.故==.对于（2）:证明构造如下模型:设随机变量相互独立且服从相同的均匀分布,则的概率密度为:.而=(*).其中当时有界,即存在常数M>0,使.故.又.由辛钦大数定律可知:.于是得.另一方面=.所以.因此由（*）式得.但运用以上结果时,求解过程相当复杂,本文综合应用依概率收敛和控制收敛定理等概率知识,给出求解一类多重积分极限的一般性定理,使定理能更好的求解更为广泛的一类多重积分的极限.2定义和引理2.1三个定义定义1设是一个可测空间,（一般到地取）,映射，如
6、果对任意的,都有.则称f是E上可测函数.定义2设,f分别是可测空间上几乎处处实值的可测函数序列和几乎处处实值的可测函数,若存在，使得对每个,有则称几乎处处收敛于f，记作:.定义3设，f分别是可测空间上几乎处处实值的可测函数序列和几乎处处实值的可测函数,如果对任意的,都有.则称依测度收敛于f，记作:.2.2三个引理引理1设是独立同分布随机变量序列,服从,而f是R上的实值连续函数且周期为1的周期函数,则对任意的,有.引理2（控制收敛定理）设是可测空间,f,g都是可测函数，,如果成立或,并且,则.引理
7、3设是可测空间上的有限测度,是几乎处处实值的可测函数,且若G是中开集D上的连续函数,且对一切及都有则.3主要结果及其证明结论1设是上的实值连续函数,是上的连续函数,令,如果存在某个常数,使得对任意的都有成立,则.结论2设都是上的实值连续函数,和分别是和上的连续函数,令,如果存在某个常数,使得对任意的,都有及.并且成立,则.结论3设f与g都是上的实值连续函数,若存在某个常数,有不等式成立,则有.（注:此结论即为文献[2]中的定理1,从而定理2推广文献[2]中的定理1.）结论1的证明证明考虑概率空间
8、上独立同分布的随机变量序列,且,令.由引理1,有.本身当然是开集,进而由引理3,有又因为存在某个常数,使得对任意的,都有.根据引理2,得.故=.结论2的证明证明令.易证D是中开集,从而该命题的题设满足引理3的要求,仿造定理1的证明,即可完成此命题的证明.结论3的证明证明令.则P,Q为上的连续函数,对任意的,都有,以及成立,并且,由定理2即得该命题成立.4结论的应用运用这三个结论,读者就可以很好的证明以下这一类多重积分的极限例计算多重积分的极限.其中是非负整数.具体计算过程可以运用引理1,由结论2
