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1、第18卷第1期工科数学Vol.18,№.12002年2月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYFeb.2002空洞探测问题的建模徐付霞,董永权(唐山师范学院数学系,河北唐山063000)[摘要]本文基于对数据的统计分析,确定出测量误差,采用连线方法,用较小的计算量找出了空洞的位置及洞径.[关键词]空洞探测;测量误差;连线[中图分类号]O212.1[文献标识码]A[文章编号]1007-4120(2002)01-0073-041问题的提出空洞探测问题是2000年全国大学生数学建模竞赛的D题,题中给出了从波源Pi(或
2、Ri)(i=1,2,⋯,7)到接收器Qj(或Sj)(j=1,2,⋯,7)的共98个测量数据,并且已知弹性波在介质中的传播速度为[1]2880米/秒,在空气中的传播速度为320米/秒,据此确定一块240米×240米的平板内空洞所在位置.2基本假设(i)弹性波在介质和空气中的传播速度均为匀速;(ii)对弹性波传播时间的测量存在测量误差;(iii)若某路径上弹性波传播时间的实际测量值与该路径上无空洞时弹性波传播时间的理论计算值之差在测量误差范围内,则认为该路径上无空洞分布.3对测量数据的统计分析1.记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij表1
3、tijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P10.06110.08950.19960.20320.41810.49230.5646P20.09890.05920.44130.43180.47700.52420.3805P30.30520.41310.05980.41530.41560.35630.1919P40.32210.44530.40400.07380.17890.07400.2122P50.34900.45290.22630.19170.08390.17680.1810P60.38070.31770.23640.30640.22170.0
4、9390.1031P70.43110.33970.35660.19540.07600.06880.1042[收稿日期]2001-03-1574工科数学第18卷记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间Sij.表2SijS1S2S3S4S5S6S7R10.06450.06020.08130.35160.38670.43140.5721R20.07530.07000.28520.43410.34910.48000.4980R30.34560.32050.09740.40930.42400.45400.3112R40.36550.32890.4247
5、0.10070.32490.21340.1017R50.31650.24090.32140.32560.09040.18740.2130R60.27490.38910.58950.30160.20580.08410.0706R70.44340.49190.39040.07860.07090.09140.05832.计算弹性波只经介质(或认为介质无空洞时)从Pi到Qj的理论时间t′ij.方法是:先计算出每条路径PiQj的长度(根据这是一块240米×240米的正方形平板及7个波源和接收器均等距放置不难算出),再除以弹性波在介质中的传播速度28
6、80米/秒,就是该路径上无空洞时弹性波传播时间的理论计算值(见表3).以PiQi(i=1,2,3,4,5,6,7)为例,其理论时间为:t′ii=240(米)÷2880(米/秒)=0.0833秒表3t′ijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P*10.08330.08440.08780.09310.10010.10840.1178P*20.08440.08330.08440.08780.09310.10010.1084P*30.08780.08440.08330.08440.08780.09310.1001P**40.09310.08780.084
7、40.08330.08440.08780.0931P50.10010.09310.08780.08440.08330.08440.0878P60.10840.10010.09130.08780.08440.08330.0844P**70.11780.10840.10010.09310.08780.08440.0833由于路径RiSj与相应的PiQj的距离相同,所以理论传播时间S′ij=t′ij.为了便于后面的分析列表4如下:表4S′ijS1S2S3S4S5S6S7R***10.08330.08440.08780.09310.10010.1
8、0840.1178R**20.08440.08330.08440.08780.09310.10010.1084R30.08780.08440.08330.08440.08780.09310.1
