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1、用几何画板研究抛物线的画法和应用一．抛物线的定义1．在平面内，与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2．抛物线的标准方程：从定点F向定直线l作垂线，垂足为K，取KF的中点O作为原点，KF所在直线为x轴建立直角坐标系，设
2、KF
3、＝p，则F点的坐标是(,0),准线l的方程是x＝－，设抛物线上任意一点的坐标是M(x,y)，自M点向准线作垂线，垂足是D，则
4、MF
5、＝
6、MD
7、∴＝
8、x＋
9、整理得到抛物线的标准方程为y2＝2px.(p>0)二．抛物线的画法画法1：1．先画出定点F和定直线l，按要求画出直角坐标系
10、；2．在图形外画一条射线BC，在射线BC上取一点M(M点为动点)；3．在BC反方向上取一点A，使
11、AB
12、＝
13、OF
14、，作线段AM；4．以F为圆心，
15、AM
16、为半径作圆；5．先后选定A、M点，用“变换”菜单中的“标记向量”功能，标记向量AM，选中直线l，用“变换”菜单中的“平移”功能，将直线l平移；6．平移后的直线与圆相交，定义交点为P、Q；将它们定义为“追踪点”；先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的一部分，同样先后选定Q、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的另一部分；在射线BC上拖动M点，则P、Q两点的轨迹画出抛物线。理论根
17、据：P点在以F为圆心，
18、AM
19、为半径的圆上，∴
20、PF
21、＝
22、AM
23、，又将准线平移了AM的长度，∴P点到准线的距离等于
24、AM
25、。画法21．先画出定点F和定直线l，按要求画出直角坐标系；2．在直线l上取一点M(M点为动点)；3．连接MF，作线段MF的中垂线；4．过M点作直线l的垂线与MF的中垂线相交于P点，将它定义为追踪点；5．先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线；6．在直线l上拖动M点，则P点的轨迹是抛物线理论根据：PM⊥准线，PM是P点到准线的距离，又
26、PF
27、是P点到焦点F的距离，P点在MF的中垂线上，所以
28、PM
29、＝
30、PF
31、。画法3．1．作
32、长方形ABCD，取CD的中点O，作OH⊥CD；2．将OD平均分成n份，在每个分点作CD的垂线A1A1’，A2A2’，…；3．将DA也分成n份，连接每个分点与O点的线段OB1，OB2，…；4．将A1A1’与OB1，A2A2’与OB2，……的交点画出，用平滑的曲线依次连接对应各点，得到抛物线的一半；5．同样方法画出另一半。6．在线段OD上取一点M，作MN⊥OD，计算OM与OD的比，标记为比例因子；7．以D点为放缩中心，将A点用标记比缩放得到R点；8．连接OR，与MN交于P点；9．将P点标记为追踪点；10．把OH标记为镜面，作P点的对称点P’，同时标记为追踪点；11．在
33、OD上拖动M点，则P点和P’点的轨迹是抛物线。说明：第二步到第五步，是解析几何课本上给出的画法，我们用第六步到第十一步在几何画板上实现。三．有关抛物线的问题研究(一)抛物线的焦点弦理论根据：抛物线y2＝2px的焦点F(,0)，过F点的弦AB两点的纵坐标y1,y2，则y1y2＝－p2，∴在抛物线上选定A点之后，可以计算出B点的纵坐标。利用它画出B点。画法：1．用焦点F和准线画一条抛物线，计算p的值，即F点到的距离；2．选中抛物线，用作图菜单中的“对象上的点”得到A点；3．从A点作准线的垂线，垂足为M，计算M点到x轴的距离；4．用y1y2＝－p2，算出另一点N的纵坐标
34、y2,5．在准线上找到纵坐标为y2的B'点；6．用抛物线画法2中的方法画出B'点在抛物线上的对应点B；7．连接AB，则AB为抛物线的焦点弦；8．作AB的中点C，以C点为圆心，CA为半径作圆，此圆与准线相切；9．选中A点，在抛物线上拖动A点，发现B点始终在抛物线上，且圆C与准线相切。结论：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。(二)抛物线中过定点P(x0,y0)的弦理论根据：在抛物线y2＝2px中作过定点P(x0,y0)的弦MN，设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点C(x0,y0),有,两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2),直线MPN
35、的斜率k＝＝,∴由M、P两点求出斜率k，即可求出y0的值，这样就求得了MN的中点C，用C点作为中心，就得到了M点关于C点的对称点N。画法：1．用焦点F和准线画一条抛物线，计算p的值，即F点到的距离；2．选中抛物线，用作图菜单中的“对象上的点”得到M点；3．作直线MP，计算直线MP的斜率，记为k；4．用p,k的值计算y0＝,用变换菜单将它作为“标记距离”；5．作y轴上，将原点O用标记距离平移得到D点，过D点作x轴的平行线交直线MP于C点；6．用变换菜单将C点标记为中心，以C为中心，将P点旋转180°得到N点；7．作线段MN，并隐藏直线MP，线段MN就是过定点P的弦。
36、8．在抛物
