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1、第四章微积分运算命令与例题极限、导数和积分是高等数学中的主要概念和运算，如果你在科研中遇到较复杂的求极限、求导数或求积分问题，Mathematica可以帮你快速解决这些问题。Mathematica提供了方便的命令使这些运算能在计算机上实现，使一些难题迎刃而解。4.1求极限运算极限的概念是整个高等数学的基础，对表达式进行极限分析也是数学里很重要的计算分析。Mathematica提供了计算函数极限的命令的一般形式为：Limit[函数,极限过程]具体命令形式为命令形式1:Limit[f,x->x0]功能:计算,其中f是x的函数。命令形式2:Limit[f,x-
2、>x0,Direction->1]功能:计算，即求左极限,其中f是x的函数。命令形式3:Limit[f,x->x0,Direction->-1]功能:计算，即求右极限，其中f是x的函数。注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Mathematica的默认状态为求右极限。例题：例1.求极限解：Mathematica命令为In[1]:=Limit[1/(xLog[x]^2)-1/(x-1)^2,x->1]Out[1]=此极限的计算较难，用Mathematica很容易得结果。例2.求极限解：Mathematica命令为In[2]:=Limit[(1+1
3、/n)^n,n->Infinity]Out[2]=E69例3写出求函数在x->0的三个极限命令解：Mathematica命令为1.Limit[Exp[1/x],x->0]2.Limit[Exp[1/x],x->0,Direction->1]3.Limit[Exp[1/x],x->0,Direction->-1]读者可以比较其结果，观察区别。例4.求解：Mathematica命令为In[3]:=Limit[Integrate[Exp[t^2],{t,0,x}]^2/Integrate[tExp[t^2]^2,{t,0,x}],x->0]Out[3]=2命令
4、中的“Integrate”表示求定积分（见4.4节）例5求极限解:若输入命令In[4]:=Limit[Integrate[ArcTan[t]^2,{t,0,x}]/Sqrt[1+x^2],x->+Infinity]屏幕会出现如下的红色英文提示信息:On::none:MessageSeriesData::csanotfound.……………………………………………………ComplexInfinity+<<1>>encountered.说明不能得出正确结果。此时可以借助人工处理，如用一次洛必达法则后再求极限:In[5]:=Limit[ArcTan[x]^2/(
5、x/Sqrt[1+x^2]),x->Infinity]Out[5]=4.2求导数与微分4.2.1求一元函数的导数与微分导数是函数增量与自变量增量之比的极限，一元函数求导有显函数求导、参数方程求导和隐函数求导，Mathematica对应的命令有：l显函数求导69命令形式1:D[f,x]功能:求函数f对x的偏导数。命令形式2:D[f,{x,n}]功能:求函数f对x的n阶偏导数。例6:变上限函数求导解：Mathematica命令为In[6]:=D[Integrate[Sqrt[1-t^2],{t,0,x^2}],x]Out[6]=In[7]:=Simplify
6、[%]Out[7]=l参数方程求导对参数方程所确定的函数y=f(x)，根据公式和命令形式1，可用三个Mathematica命令实现对参数方程的求导:r=D[x,t]；s=D[y,t]；Simplify[s/r]或用Mathematica自定义一个函数：pD[x_,y_,t_]:=Module[{s=D[y,t],r=D[x,t]},Simplify[s/r]]来实现。例7.求参数方程的一阶导数。解:Mathematica命令In[8]:=x=t*(1-Sin[t]);y=t*Cos[t];s=D[y,t];r=D[x,t];Simplify[s/r]Co
7、s[t]-tSin[t]Out[8]=---------------------1-tCos[t]-Sin[t]或In[9]:=pD[x_,y_,t_]:=Module[{s=D[y,t],r=D[x,t]},Simplify[s/r]]In[10]:=pD[t*(1-Sin[t]),t*Cos[t],t]Cos[t]-tSin[t]Out[10]=-----------------------1-tCos[t]-Sin[t]l隐函数求导69由方程f(x,y)=0所确定的函数y=y(x)的导数可用一个自定义函数完成，这个函数为impD[eqn_,y_,x
8、_]:=Module[{s,r,t},s=D[eqn,x,NonConstant
