高三高考复习数学专题学案：《立体几何初步》《空间直线》

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1、第2课时空间直线基础过关1．空间两条直线的位置关系为、、．2．相交直线一个公共点，平行直线没有公共点，异面直线：不同在任平面，没有公共点．3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角．5．异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线的距离：和两条异面直线的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在的长度，叫两异面直线的距离．典型例题例1.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝

2、CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点．(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；AEBCFD(2)求AB和CD间的距离．证明：(1)连结CE、DEAB⊥面CDE∴AB⊥EF同理CD⊥EF∴EF是AB和CD的公垂线(2)△ECD中，EC＝＝ED∴EF＝BMANCS变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中EF＝FG＝EG＝1∴∠EGF＝1∴AD与BC成60°的角。例2.S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝B

3、SC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角．证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝NQ＝SM＝aBQ＝∴COS∠QNB＝∴∠QNB＝arccos变式训练2：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．(1)求异面直线SC和AB的距离；(2)求异面直线SA和EF所成角．答案：(1)(2)45°PC1D1MB1A1DNCBA例3.如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中

4、，M、N、P分别为A1B1、BB1、CC1的中点．(1)求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角；(2)判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离．解：(1)D1P与AM成90°的角CN与AM所成角为arccos.(2)是．NP是其公垂线段,D1P与AN的距离为1.变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，ACBNMA1C1B1若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，易证∠GNA就是BM与AN所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则A

5、G＝AN＝，GN＝B1M＝，cos∠GNA＝。例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底CDBEFAMP面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2)若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．（1）证明：∵EF∥CDAM∥CD∴AM∥EF，又AM＝EF∴AMFE为平行四边形∵AB⊥PA，AB⊥AD∴AB⊥面PAD∴AB⊥AE，又AE∥MF，∴AB⊥MF又∵AE⊥PDCD⊥AE∴AE⊥面PCD∴AE⊥PC∴MF⊥PC∴MF为AB与PC的公垂线．(2)设AB＝1，则PA＝3，建立如图

6、所示坐标系．由已知得＝(0，，)，＝(1，0，0)面MFEA的法向量为＝(0，1，－3)，＝(1，1，0)，cos<，>＝．∴AC与面EAM所成的角为－arccos，其正弦值为．变式训练4：如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点．（１）证明；（２）求与所成的角。（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1又DF1DC1，所以AD⊥D1F.（2）取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1

7、F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。小结归纳1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角．2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法．3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．