高考数学复习点拨 利用期望方差证明不等式

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1、高考数学复习点拨：构造概率分布列利用Eξ2≥(Eξ)2证明不等式若离散型随机变量ξ列为P(ξ＝xi)＝Pi(i=1，2，…，n…)，其中p1＋p2＋…＝1，则依方差公式Dξ＝Eξ2－（Eξ）2＝(x1－Eξ)2p1＋(x2－Eξ)2p2＋…＋(xi－Eξ)2pi＋…≥0，可得Eξ2≥（Eξ）2.利用这一结论，在证明一些不等式时，若能根据不等式的结构特征，巧妙地构造离散型随机变量，则可另辟蹊径，别具一格地证明不等式.构造分布列证明不等式的一般步骤是：(1)根据不等式的结构特征确定随机变量ξ的取值xi及相应的概率值pi.(2)分别计算随机变量ξ及ξ2的期

2、望Eξ﹑Eξ2.(3)最后利用Eξ2≥(Eξ)2.一、利用不等式的轮换对称性构造分布列如果所证的不等式中含有n个字母，且不等式是一个关于每个字母的轮换对称式，则可以根据每个字母在式中处于同等的地位的特点，则可将每个字母取值视为一个随机变量的取值，每个取值的概率均为.例1求证()2≤·证明：构造随机变量ξ的分布列为ξabP所以Eξ＝，(Eξ)2＝由Eξ2≥(Eξ)2，得≥()2。数学期望也常称为均值.Eξ2≥(Eξ)2说明ξ2的“平均值”不小于ξ的“平均值”的平方.而不等式≥()2说明平方平均数不小于算术平均数的平方.两者之间确有类似之处充分体现出随机

3、性数学与决定性数学的融合，显示了数学的统一.例2求证：已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.证明：不等式为关于a、b﹑c的轮换对称式，构造随机变量ξ的分布列为ξabcP所以Eξ＝，(Eξ)2＝由Eξ2≥(Eξ)2，得≥()2，化简整理得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.二、利用“和为1”条件构造分布列如果证明以几项的和为1的条件不等式，则取所证不等式的项或项的部分因式及变式为随机变量，取和为1的项为随机变量相应的概率构造分布列.如果题设条件中没有“和为1”的等式，则可以通过凑“和为1”，其凑法主要有两条途径：一是根据所给的条

4、件等式变形凑“1”；二是根据已有的公式或题中没有的而成立的等式凑“1”.例3已知a，b是不相等的两个正数，x、y∈R，且a＋b＝1求证：ax2＋by2≥(ax＋by)2.证明：构造随机变量ξ的分布列为ξxyPab所以Eξ＝ax＋by，Eξ2＝ax2＋by2，由Eξ2≥(Eξ)2，得ax2＋by2≥(ax＋by)2.例4已知x2＋y2＝16，求证：x＋y≤4.证明：由x2＋y2＝16，变形得＋＝1，所以与为概率，而所证不等式变形为＋≤，根据概率的特点取随机变量为与，因此，构造随机变量ξ的分布列为：ξP所以Eξ＝＋，Eξ2＝2，由Eξ2≥(Eξ)2，即2

5、≥(＋)2，化简整理得x＋y≤4.例5设a＞0﹑b＞0﹑c＞0，求证：＋＋≥.证明：∵(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝2(a＋b＋c)，∴＋＋＝1，同时取左端的部分因式﹑﹑为随机变量，构离散型随机变量ξ的分布列：P(ξ＝)＝；P(ξ＝)＝；P(ξ＝)＝；Eξ2＝()2＋()2＋()2＝(＋＋)·，Eξ＝·＋·＋·＝，依Eξ2≥(Eξ)2，可得＋＋)≥.例6设α、β∈（0，），求证＋≥1.证明：∵cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，∴＋＝1，时取左端的部分因式﹑为随机变量，构离散型随机变量ξ的分布列：P(ξ＝)＝；P(ξ＝)＝；E

6、ξ2＝()2·＋()2·＝(＋)·，Eξ＝·＋·＝，依Eξ2≥(Eξ2，可得(＋)·≥，即＋≥≥1，得证.