6.1 不等式的性质

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1、学科：数学教学内容：6.1不等式的性质学习目的：1.重视实数的运算性质与大小顺序之间的关系.2.明确比较两个实数a与b的大小，就是判断它们的差a-b的符号.3.掌握不等式的每一个性质及每一个性质的条件.4.注意将不等式的性质与等式的性质进行类比，特别要搞清楚它们之间的区别.方法导引：1.比较两个实数的大小，常常利用作差法，作商法，平方作差法.2.证明不等式的性质，常常利用比较实数大小的方法.3.证明简单的不等式(或判断一个不等式是否正确)，常常利用不等式的性质，特别要注意不等式成立的条件.4.不等式的应用，常常将实际问题转化为不等式的

2、相关问题，然后利用不等式的性质求解.例题精讲：例1若a,b∈R+，比较+与+的大小.分析：作差法，作商法，平方作差法是比较两数大小的常用方法，我们在解题中要时刻记住这一条.解法一：(作差法).∵a,b∈R+∴〔+〕-(+)＝+--＝+＝(a-b)(-)＝＝≥0∴+≥+.解法二：(作商法).∵a,b∈R+∴＝＝＝＝≥＝1∴+≥+.解法三：(平方作差法).∵〔+〕2-(+)2＝(++2)-(a+b+2)＝-(a+b)＝(a2+b2-ab-ab)＝≥0∴+≥+.例2设2

3、用不等式的性质解题的关键是弄清性质成立的前提条件.解：(1)∵2

4、：2b，则下列不等式中正确的是()A.algx>blgx(x>0)B.ax2>bx2C.a2>b2D.2xa>2xb分析：在进行不等式变形时，要注意每一步骤的理论依据是什么，切忌“随心所欲”.解：∵lgx∈R，当lgx<0时，由a>b得algxblgx不成立.x＝0时，ax2＝bx2＝0∴ax2>bx2不成立.∵a2-b2＝(a+b)(a-b)由a>b得a-b>0，但a+b的符号不确定，∴a2>b2不成立.∵2x>

5、0∴2xa>2xb成立.因此应选D.点评：在运用不等式的性质时，乘以“数(式)”时要当心，进行“放、缩”时要当心，在“取倒”时要当心.疑难解析：例已知f(x)＝ax2-c且-4≤f(1)≤-f(2)≤5，求f(3)的取值范围.分析一：要求f(3)的取值范围，因为f(1),f(2)的范围已知，故应建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系，可通过a、c将f(3)用f(1)和f(2)表示.解法一：∵f(1)＝a-c,f(2)＝4a-ca＝∴c＝∴f(3)＝9a-c＝9×-＝-f(1)+f(2)∵-4≤f(1)≤-1∴≤-f(1)≤∵-1≤f

6、(2)≤5∴-≤f(2)≤∴-1≤-f(1)+f(2)≤-1≤f(3)≤析二：建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系时，也常用待定系数法.解法二：令f(3)＝mf(1)+nf(2)则9a-c＝m(a-c)+n(4a-c)即9a-c＝(m+4n)a-(m+n)cm+4n＝9m＝-∴解得m+n＝1n＝∴f(3)＝-f(1)+f(2)下面解法同解法一.分析三：运用数形结合的思想方法，让问题变得直观明了.-4≤x-y≤-1解法三：依题意，问题转化为当动点P(x,y)在满足条件-1≤4x-y≤5-4≤x-y≤-1的区域上变化时，求b＝9x-

7、y的取值范围.而满足条件-1≤4x-y≤5的区域是由直线x-y＝-1，x-y＝-4及直线4x-y＝5，4x-y＝-1围成的平行四边形区域(图6-1中阴影部分).图6-1下面考虑在直线9x-y＝b平行移动过程中，当它与图6-1中阴影部分有公共点时，求b的取值范围.易知，当直线9x-y＝b经过点A(0，1)时，b＝9x-y取最小值9×0-当直线9x-y＝b经过点c(3,7)时，b＝9x-y取最大值9×3-7＝∴-1≤b≤即-1≤9x-y≤-1≤f(3)≤意：本题在求解过程中，常常犯这样的错误.-4≤a-c≤-10≤a≤3由求得-1≤4a-

8、c≤51≤c≤7从而-7≤9a-c≤26即-7≤f(3)≤26.显然，f(3)的取值范围扩大了，其扩大的原因是由满足条件形成的区域(图6-2中阴影部分)比图6-1中所示的区域要大，所以它们表示的范围不同.事实上，在图6-