高考数学复习点拨 函数部分学习方法总结与典型例题分析

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1、函数部分学习方法总结与典型例题分析一、方法总结1．相同函数的判定方法：①定义域相同；②对应法则相同(两点必须同时具备)．2．函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法．3．反函数的求法：①解x用y表示的式子，②求原函数值域，③互换x，y改写成y＝f－1(x)并注明定义域(即原函数值域)．4．函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等．5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别

2、式法；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．6．单调性的判定法：①设x1，x2是所研究区间内的任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．(注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性．)7．图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象．8．函数的应用举例(实际问题的解法)．(1)解决应用问题的一般程序是：①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；②建模：将文

3、字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型．③求模：求解数学模型，得到数学结论．④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．(2)建模类型：①可化为一、二次函数的应用题的解法；②可化为分段函数的应用题的解法；③可化为指数函数或对数函数型的应用题的解法．9．常用函数的研究、总结与推广：(1)以二次函数为背景的函数问题(包括通过换元可转化为二次函数问题的)(2)以指数函数为背景的函数问题．(3)以对数函数为背景的函数问题．(4)研究函数y＝(≠)的图象性质及反函数．(5)研究函数y＝x＋的图象性质并推广．(6)研究函数y＝(ax±a－x)(a＞0且a≠1)的定义域、值域、单调性

4、、反函数．(7)研究函数y＝loga()(a＞0且a≠1)的定义域、单调性、反函数．10．抽象函数(即不给出f(x)解析式，只知道f(x)具备的条件)的研究．(1)若f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)关于直线x＝a对称．(2)若对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)可与指数函数类比．(3)若对任意的x，y∈(0，＋∞)都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则f(x)可与对数函数类比．二、典例剖析［例1］如图2－30，某房地产开发公司要在荒地ABCDE上划分一块长方形地面(不改变方位)建造一幢公寓．问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1

5、m2)．解：设公寓占地矩形的长和宽分别为a、b，面积为S(70≤a≤100，60≤b≤80)∴b＝，且70≤a≤100S＝a·b＝＝.当a＝95∈［70，100］时，S取到最大值约为6017m2．点评：本问题即已知b＝，70≤a≤100，60≤b≤80，求S＝a·b的最大值，可通过代入消元转化为关于a的二次函数问题，在此过程中，特别要注意函数的定义域即变量a的取值范围．［例2］已知f(x)＝x2＋c，且f［f(x)］＝f(x2＋1)，(1)设g(x)＝f［f(x)］，求g(x)的解析式；(2)设φ(x)＝g(x)－λf(x)，试问是否存在实数λ，使φ(x)在(－∞，－1)内是减函数，并

6、在(－1，0)内是增函数．解：(1)由f［f(x)］＝f(x2＋1)即(x2＋c)2＋c＝(x2＋1)2＋c整理得(c－1)(2x2＋c＋1)＝0，∴c＝1∴g(x)＝x4＋2x2＋2.(2)φ(x)＝g(x)－λf(x)＝(x4＋2x2＋2)－λ(x2＋1)＝x4＋(2－λ)x2＋2－λ设y＝φ(x)，x2＝t则y＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在(0，1)上递减，且在(1，＋∞)上递增∴－＝1，即λ＝4点评：本题主要利用了数学中最基本的思想方法：待定系数法和换元法，转化为二次函数的单调性问题．［例3］已知函数f(x2－3)＝lg，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的反函数f－1

7、(x)．解：(1)设t＝x2－3，则x2＝t＋3，且t＞－3①f(t)＝lg，又＞0，∴t＜－3或t＞3②因此由①，②知，f(x)＝lg的定义域为(3，＋∞)(2)设y＝lgu，u＝，x＞3则u＞1，∴y＝lgu＞0由y＝lg得10y＝∴x＝f(x)的反函数f－1(x)＝(x＞0)点评：本题使用换元法求出函数f(x)的解析式及其定义域．但要注意求f(t)的定义域的条件：其一，先由f(x2－3)＝lg有意义得到＞0，即x2＞6，再由t＝x2－3＞