高二数学 含有绝对值的不等式典型例题分析

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1、含有绝对值的不等式·典型例题分析 例1 求下列函数的定义域和值域：分析 利用绝对值的基本概念．解 (1)x+

2、x

3、≠0，即

4、x

5、≠-x．∴x＞0．∴定义域为(0，+∞)，值域为(0，+∞)．(2)

6、x

7、≥x，x∈R．

8、x

9、-x≥0，∴y∈[0，+∞)．(3)x+

10、x

11、＞0，x∈R+．y∈R．画出函数图象如图5-17所示．不难看出，x∈R，y∈[-1，1]．说明 本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用．例2 解不等式

12、x+1

13、＞

14、2x-3

15、-2．将不等式中的绝对值符号去掉，转化

16、成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．(1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)＞-(2x-3)-2．∴x＞2与条件矛盾，无解．综上，原不等式的解为{x

17、0＜x＜6}．注意 找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．例3 解不等式

18、x2-4

19、＜x+2．分析 解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：二是根据绝对值的性质：

20、x

21、＜aÛ-a＜x＜a，

22、

23、x

24、＞aÛx＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法．∴2≤x＜3或1＜x＜2故原不等式的解集为{x

25、1＜x＜3}．解法二 原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2例4 求使不等式

26、x-4

27、+

28、x-3

29、＜a有解的a的取值范围．分析 此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一 将数轴分为(-∞，3]，[3，4]，(4，+∞)三个区间当3≤x≤4 时，得(4-x)+(x-3)＜a，即a＞1；∴a＞1．以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a＞1．解法二 设数x，

30、3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式

31、PA

32、+

33、PB

34、＜a的意义是P到A、B的距离之和小于a．因为

35、AB

36、=1，故数轴上任一点到 A、B距离之和大于(等于)1，即

37、x-4

38、+

39、x-3

40、≥1，故当a＞1时，

41、x-4

42、+

43、x-3

44、＜a有解．ε．分析 根据条件凑x-a，y-b．证明 

45、xy-ab

46、=

47、xy-ya+ya-ab

48、说明 这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．分析 使用分析法．证明 ∵

49、a

50、＞0，∴只需证明

51、a2-b2

52、≥

53、a

54、2-

55、a

56、

57、b

58、，两边同除

59、b

60、2，即只需

61、证明说明 有关绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理2：

62、a

63、-

64、b

65、，∴原不等式也成立．